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Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces

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Amoroso F., David S.

Acta Arithmetica

2000

tom 92

nr 4

339-366

1. Introduction. Dans un article célèbre, D. H. Lehmer posait la question suivante (voir [Le], §13, page 476): «The following problem arises immediately. If ε is a positive quantity, to find a polynomial of the form: $f(x) = x^r + a_1x^{r-1} + ⋯ +a_r$ where the a's are integers, such that the absolute value of the product of those roots of f which lie outside the unit circle, lies between 1 and 1 + ε (...). Whether or not the problem has a solution for ε < 0.176 we do not know.» Cette question, toujours ouverte, est la source de nombreuses conjectures: généralisation aux minimums successifs de la hauteur (ou hauteur d'un point dans $𝔾_m^n$), hauteur normalisée d'une sous-variété de $𝔾_m^n$, ou encore analogues des ces questions sur les variétés abéliennes. Après une brève description de ces questions, nous nous intéresserons plus particulièrement aux hypersurfaces de $𝔾_m^n$, pour lesquelles nous donnerons des minorations du type de celles déjà obtenues par Dobrowolski pour les points de $𝔾_m$.

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