TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION.........................................................................5 Notations et conventions..........................................................6 Chapitre I. ARITHMÉTIQUE DE $F_q[X]$...................................7 A. Les théorèmes généraux.....................................................7 B. Les fonctions ω, g et W liées au crible de Selberg............10 C. Les fonctions G liées au crible de Selberg........................13 D. Les fonctions W̅ et G̅ liées au crible de Selberg................19 Chapitre II. LE CRIBLE DE SELBERG......................................21 A. Notations............................................................................21 B. La majoration.....................................................................22 C. La minoration.....................................................................25 Chapitre III. THÉORÈMES COMBINATOIRES............................28 Chapitre IV. LE THÉORÈME DE CHEN.....................................38 A. Le crible pondéré...............................................................38 B. Majoration de S..................................................................42 C. Majoration de S₃................................................................45 D. Les fonctions L(χ,·)............................................................47 E. Fin de la démonstration.....................................................52 Annexe. LE THÉORÈME DE CHEN POUR F₂[X].......................53 BIBLIOGRAPHIE.......................................................................54
TABLE DES MATIÈRES I. Introduction.......................................................................5 II. Notations..........................................................................6 III. La méthode du cercle......................................................8 IV. Évaluation de $R_k(M)$..................................................9 V. Sommes de k carrés dans un corps fini.........................13 VI. Les séries singulières $S_k(M)$...................................14 VII. Estimation de S₃(M) lorsque -M est carré.....................28 VIII. Estimation des nombers $R_k(M)$. (Fin)....................33 Bibliographie......................................................................36
TABLE DES MATIÈRES Introduction....................................................................................5 Notations et conventions...............................................................6 Chapitre I. Estimations auxiliaires...................................................7 A. Théorèmes arithmétiques.........................................................7 B. Les fonctions $f_R$, $g_R$, $W̅_R$, et $W_R$....................11 C. Estimations relatives à des fonctions multiplicatives...............15 Chapitre II. Le crible de Selberg...................................................20 Chapitre III. Estimation dé $N_0(n; M,R)$.....................................22 A. Théorèmes combinatoires.......................................................23 B. Majoration de $t_i(y,P)$..........................................................27 C. Démonstration du théorème 1................................................36 Chapitre IV. Estimation de N(n; M)................................................45 Remarques...................................................................................47 Bibliographie.................................................................................50
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Introduction. Soit q une puissance d'un nombre premier p et soit $𝔽_q$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l'arithmétique de l'anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l'anneau $𝔽_q[T]$ a conduit à étendre à $𝔽_q[T]$ de nombreuses questions de l'arithmétique classique. L'équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps $𝔽_q((T^{-1}))$ des séries de Laurent formelles, complété du corps $𝔽_q(T)$ des fractions rationnelles pour la valuation à l'infini et l'intervalle [0,1[ est remplacé par l'idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l'équirépartition modulo 1 dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$ qui s'est révélée fructueuse puisqu'elle permet l'utilisation d'un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l'équirépartition modulo 1 de la suite $(H^{1/2})$, H décrivant la suite des polynômes de $𝔽_q[T]$ admettant une racine carrée $H^{1/2}$ dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$, et, plus généralement, celle de la suite $(H^{1/l})$, H décrivant la suite des polynômes de $𝔽_q[T]$ admettant une racine l-ième $H^{1/l}$ dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$. C'est ce qui est fait dans ce qui suit, où l'on précise ce que l'on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite $(H^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite $(P^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de $𝔽_q[T]$ admettant une racine l-ième dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$.
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