Sur le théorème de M. Vitali

Théorème: Soit E un ensemble plan quelconque mais borné et contenu dans un ensemble ouvert et borné Ω. Supposons qu'à tout point P de E correspond une suite infinie ${\displaystyle \left\{W_i\left(P\right)\right\}(i=1,2,...)}$ des ensembles fermés ${\displaystyle W_i\left(P\right)}$ contenus dans Ω et remplissant les hypothèses suivantes: 1. ${\displaystyle W_i\left(P\right)}$ est situe dans un cercle ${\displaystyle K_i\left(P\right)}$ dont P est le centre, 2. ${\displaystyle \underset{i\to \infty }{lim}\left|K_i\left(P\right)\right|=0}$ (La notation |X| signifie la mesure lebesguienne de X, si X est mesurable (L)) 3. il existe un nombre positif α tel que l'inégalité ${\displaystyle \frac{\left|W_i\left(P\right)\right|}{\left|K_i\left(P\right)\right|}>\alpha }$ a lieu pour i naturel et pour tout P de E; alors il existe une suite finie ou infinie ${\displaystyle \left\{P_n\right\}}$ des points appartenant à E et une suite des nombres naturelles ${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$, telles que les ensembles ${\displaystyle W_{a_n}\left(P_n\right)}$ aient les propriétés 1. que leur somme ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{Z}_n}$ recouvre presque tout l'ensemble E; 2. ${\displaystyle Z_p{Z}_q=0}$ pour p ≠ q.