Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini

Introduction. Soit q une puissance d'un nombre premier p et soit ${\displaystyle \_q}$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l'arithmétique de l'anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l'anneau ${\displaystyle \_q\left[T\right]}$ a conduit à étendre à ${\displaystyle \_q\left[T\right]}$ de nombreuses questions de l'arithmétique classique. L'équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps ${\displaystyle \_q\left(\left(T^{-1}\right)\right)}$ des séries de Laurent formelles, complété du corps ${\displaystyle \_q\left(T\right)}$ des fractions rationnelles pour la valuation à l'infini et l'intervalle [0,1[ est remplacé par l'idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l'équirépartition modulo 1 dans le corps ${\displaystyle \_q\left(\left(T^{-1}\right)\right)}$ qui s'est révélée fructueuse puisqu'elle permet l'utilisation d'un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l'équirépartition modulo 1 de la suite ${\displaystyle \left(H^{\frac{1}{2}}\right)}$, H décrivant la suite des polynômes de ${\displaystyle \_q\left[T\right]}$ admettant une racine carrée ${\displaystyle H^{\frac{1}{2}}}$ dans le corps ${\displaystyle \_q\left(\left(T^{-1}\right)\right)}$, et, plus généralement, celle de la suite ${\displaystyle \left(H^{\frac{1}{l}}\right)}$, H décrivant la suite des polynômes de ${\displaystyle \_q\left[T\right]}$ admettant une racine l-ième ${\displaystyle H^{\frac{1}{l}}}$ dans le corps ${\displaystyle \_q\left(\left(T^{-1}\right)\right)}$. C'est ce qui est fait dans ce qui suit, où l'on précise ce que l'on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite ${\displaystyle \left(H^{\frac{1}{l}}\right)}$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite ${\displaystyle \left(P^{\frac{1}{l}}\right)}$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de ${\displaystyle \_q\left[T\right]}$ admettant une racine l-ième dans le corps ${\displaystyle \_q\left(\left(T^{-1}\right)\right)}$.