Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini

• Autorzy: Mireille Car
• Języki publikacji: FR

Abstrakty

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Introduction. Soit q une puissance d'un nombre premier p et soit $𝔽_q$ le corps fini à q éléments. Une certaine analogie entre l'arithmétique de l'anneau ℤ des entiers rationnels et celle de l'anneau $𝔽_q[T]$ a conduit à étendre à $𝔽_q[T]$ de nombreuses questions de l'arithmétique classique. L'équirépartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres réels est alors remplacé par le corps $𝔽_q((T^{-1}))$ des séries de Laurent formelles, complété du corps $𝔽_q(T)$ des fractions rationnelles pour la valuation à l'infini et l'intervalle [0,1[ est remplacé par l'idéal de valuation. L. Carlitz [1] a donné une définition de l'équirépartition modulo 1 dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$ qui s'est révélée fructueuse puisqu'elle permet l'utilisation d'un critère de Weyl [1], [7], la généralisation des premiers résultats de Weyl [2], [3], du théorème de Koksma [7], ou du théorème de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite (√n) est équirépartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l'équirépartition modulo 1 de la suite $(H^{1/2})$, H décrivant la suite des polynômes de $𝔽_q[T]$ admettant une racine carrée $H^{1/2}$ dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$, et, plus généralement, celle de la suite $(H^{1/l})$, H décrivant la suite des polynômes de $𝔽_q[T]$ admettant une racine l-ième $H^{1/l}$ dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$. C'est ce qui est fait dans ce qui suit, où l'on précise ce que l'on entend par racine l-ième. On démontre que pour l ≥ 2, la suite $(H^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite $(P^{1/l})$ est équirépartie modulo 1, P décrivant la suite des polynômes irréductibles de $𝔽_q[T]$ admettant une racine l-ième dans le corps $𝔽_q((T^{-1}))$.

• Wydawca: Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences
• Czasopismo: Acta Arithmetica
• Rocznik: 1995
• Tom: 69
• Numer: 3
• Strony: 229-242

Daty

wydano

1995

otrzymano

1993-07-19

Twórcy

autor

Mireille Car

• Laboratoire De Mathématiques, Case 322, Faculté Des Sciences De Saint-jérôme, Avenue Escadrille Normandie-niemen, 13397 Marseille Cedex 20, France

Bibliografia

• [1] L. Carlitz, Diophantine approximations in fields of characteristic p, Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 187-208.
• [2] A. Dijksma, Uniform distribution of polynomials over GF{q,x} in GF[q,x], part I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 72 (1969), 376-383.
• [3] A. Dijksma, Uniform distribution of polynomials over GF{q,x} in GF[q,x], part II, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 73 (1970), 187-195.
• [4] D. R. Hayes, The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles, Acta Arith. 11 (1966), 461-488.
• [5] D. R. Hayes, The distribution of irreducibles in GF[q,x], Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 101-127.
• [6] R. Lidl and H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and Their Applications, Cambridge University Press, 1986.
• [7] D. de Mathan, Approximations diophantiennes dans un corps local, Bull. Soc. Math. France Mém. 21 (1970).
• [8] G. Rhin, Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini, Dissertationes Math. 95 (1972).