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Sur les ensembles connexes et non connexes

100%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

81-95

FR

Définition: On dit que'un ensemble de points P est dispersé, s'il ne contient aucun ensemble connexe contenant plus qu'un point. Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants: Problème 1: Deux points d'un ensemble dispersé, sont-ils nécessairement séparés dans cet ensemble? Problème 2: P étant un ensemble dont tout deux points sont séparés dans P, a étant un point donné de P et ϵ un nombre positif donné, peut-on toujours décomposer P en deux ensembles séparés A et B de sorte que A contienne a et que le diamètre de A soit < ϵ ? Problème 3: Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble punctiforme (situé dans l'espace à m dimensions) soit homéomorphe avec un ensemble linéaire? et Problème 4: Un complémentaire d'un ensemble punctiforme situé dans l'espace à m>1 dimensions est-il toujours connexe?

2

Un problème sur les ensembles homogènes

100%

Kuratowski K.

Fundamenta Mathematicae

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1922

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tom 3

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nr 1

14-19

FR

Le but de cette note est de donner un exemple d'un ensemble homogène qui ne vérifie pas la propriété suivante: Condition: Soit E un ensemble homogène., a et b étant deux points quelconques de E, il existe une transformation biunivoque et bicontinue de l'ensemble E en lui-même, qui transforme a en b et b en a simultanément. et d'envisager une classe d'ensemble homogènes qui remplissent la condition ci-dessus.

3

Une application de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x) + f(y) à la décomposition de la droite en ensembles superposables, non mesurables

75%

Ruziewicz S.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 5

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nr 1

92-95

FR

Le but de cette note est de prouver une propriété fort simple de la fonction f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle: f(x+y) = f(x) + f(y), propriété qui nous permettra de décomposer la droite en m ensembles superposables, partout denses, disjoints, non mesurables (L), m étant un nombre cardinal quelconque, satisfaisant aux inégalités: א_0 ≤ m ≤ 2^{א_0}.

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1 Ruziewicz S.

1 Sierpiński W.

1 1924

1 1922

1 1921

Sur les ensembles connexes et non connexes

Un problème sur les ensembles homogènes

Une application de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x) + f(y) à la décomposition de la droite en ensembles superposables, non mesurables