Książka - szczegóły

CZĘŚĆ TRZECIA: Funkcje elementarne

ROZDZIAŁ XVI. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej. Funkcje trygonometryczne oraz ich odwrócenie

§ 133. Rozwinięcie funkcji $e^z$ na szereg potęgowy................ 1
§ 134. Obliczanie liczby e; jej niewymierność................ 3
§ 136. Funkcja $e^z$ dla zespolonych z................ 6
§ 136. Funkcje cos z oraz sin z i ich własności................ 8
§ 137. Liczba π. Okresowość funkcyj trygonometrycznych................ 11
§ 138. Bieg funkcyj cos x i sin x dla rzeczywistych x................ 16
§ 139. Wzór Vieta na liczbę π................. 17
§ 140. Odwrócenie funkcyj trygonometrycznych................ 21
§ 141. Forma trygonometryczna liczb zespolonych................ 27
§ 142. Własnoaści charakterystyczne funkcyj trygonometrycznych................ 31
§ 143. Wzory na pierwiastki naturalnego stopnia z liczb zespolonych................ 35

ROZDZIAŁ XVII. Logarytmy liczb zespolonych. Potęga ogólna. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej

§ 144. Logarytmy liczb zespolonych................ 40
§ 146. Logarytm główny i jego własności................ 41
§ 146. Potęga o wykładniku zespolonym................ 45
§ 147. Potęga ogólna................ 48
§ 148. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej................ 51
§ 149. Funkcja tg(z) oraz jej odwrócenie................ 57
§ 150. Związek między funkcją arctg(z) a funkcją lg z................ 63

ROZDZIAŁ XVIII. Rozwinięcia funkcyj trygonometrycznych oraz hyperbolicznych na iloczyny nieskończone

§ 151. Wywód pewnej tożsamości dla sin π z................ 68
§ 152. Rozwinięcie funkcji sin π z na iloczyn nieskończony. Wzór Wallisa na liczbę π................ 71
§ 153. Rozwinięcie funkcji cos π z na iloczyn nieskończony................ 76
§ 154. Wzory Eulera na liczbę $π^2$................ 78
§ 155. Wzór Stirlinga................ 80

ROZDZIAŁ XIX. Rozwijanie funkcyj trygonometrycznych na ułamki proste

§ 156. Rozwinięcie funkcji ctg π z na ułamki proste................ 84
§ 157. Rozwinięcie funkcji ctg π z na szereg potęgowy. Liczby Bernoulli'ego................ 88
§ 158. Rozwinięcia funkcji tg z na szereg potęgowy oraz na ułamki proste................ 94
§ 159. Rozwinięcie funkcyj sec z oraz cosec z na szeregi potęgowe oraz na ułamki proste................ 95
§ 160. Wielomiany Bernoulli'ego; wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych................ 100

ROZDZIAŁ XX. Funkcja Γ Eulera oraz jej ważniejsze własności

§ 161. Definicja funkcji Γ(z) jako granicy pewnego iloczynu................ 104
§ 162. Własność iloczynu Γ(z)Γ(1-z); wnioski................ 108
§ 163. Twierdzenie Gaussa o mnożeniu funkcji Γ................ 110

CZĘŚĆ CZWARTA: Rachunek różniczkowy

ROZDZIAŁ XXI. Pochodna oraz jej zasadnicze własności
§ 164. Definicja pochodnej. Warunek konieczny i wystarczający na to, iżby funkcja, ciągła w danym przedziale, posiadała dla danej
wartości tego przedziału daną pochodną................ 113
§ 165. Pochodne nieskończone. Pochodne funkcyj elementarnych. Ciągłość funkcji, posiadającej pochodną skończoną................ 116
§ 166. Granice funkcji. Twierdzenie o granicach sumy, różnicy, iloczonu i ilorazu funkcyj................ 124
§ 167. Pochodna sumy i różnicy................ 128
§ 168. Pochodna iloczynu................ 131
§ 169. Pochodna ilorazu................ 132
§ 170. Pochodna funkcji................ 133
§ 171. Pochodna funkcji odwrotnej................ 136
§ 172. Przykłady i zastosowania................ 139
§ 173. Funkcja ciągła, nie posiadająca pochodnej................ 141
§ 174. Pochodne rzędów wyższych. Wzór Leibniza na n-tą pochodną iloczynu................ 147

ROZDZIAŁ XXII. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a oraz ich zastosowania

§ 175. Dowód twierdzenia Rolle'a................ 152
§ 176. Twierdzenie Lagrange'a oraz jego ważniejsze wnioski................ 154
§ 177. Twierdzenie Cauchy'ego................ 157
§ 178. Twierdzenie Darboux................ 158
§ 179. Rozwijanie na szereg potęgowy funkcyj, dla których rozwinięcia pochodnych są znane................ 162
§ 180. Szereg potęgowy na lg(1+ x). Obliczanie logarytmów................ 163
§ 181. Szereg potęgowy na arctg x. Obliczanie liczby π................ 165
§ 182. Szeregi $Σ n^(-1)x^(n)cos(nϑ)$ oraz $Σ n^(-1)x^(n)sin(nϑ)$................ 168
§ 183. Twierdzenie o rozwijalności funkcji ciągłej okresowej na jednostajnie zbieżny szereg skończonych wyrażeń
trygonometrycznych................ 175
§ 184. Pochodna szeregu funkcyj, dla którego szereg pochodnych jest zbieżny jednostajnie................ 177
§ 184. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby pochodną szeregu był w danym punkcie szereg pochodnych................ 182
§ 185. Przejście do funkcji pierwotnych dla szeregu jednostajnie zbieżnego. Istnienie funkcyj pierwotnych dla funkcyj
ciągłych................ 184
§ 186. Rozwinięcie wielomianów Bernoulli'ego przedziale (0, 1) na szeregi trygonometryczne................ 187
§ 187. Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina................ 191
§ 188. Zastosowanie wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina. Szeregi asymptotyczne................ 193

ROZDZIAŁ XXIII. Wzór Taylora i Maclaurina

§ 189. Wywód wzorów Taylora i Maclaurina. Forma reszty Schlömilcha, Lagrange'a i Cauchy'ego................ 199
§ 190. Warunek konieczny i wystarczający dla rozwijalności funkcji na szereg Taylora w pewnym przedziale................ 205
§ 191. Szereg dwumienny................ 207
§ 192. Rozwinięcie funkcji arcsin(x) na szereg potęgowy................ 211
§ 193. Wzór na lg(1+x) oraz jego zastosowanie do dowodu pewnego twierdzenia z teorji iloczynów nieskończonych................ 212
§ 194. Pewne wnioski ze wzoru Taylora. druga pochodna uogólniona. Twierdzenie Schwarza................ 214
§ 195. Maxima i minima funkcji; ich własności oraz wyznaczanie................ 217

ROZDZIAŁ XXIV. Ważniejsze wzory i twierdzenia z teorji przyrostów skończonych. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona

§ 196. Wzór ogólny na n-tą różnicę funkcji................ 223
§ 197. Uogólnienie twierdzenia o przyrostach skończonych................ 227
§ 198. Związek miedzy n-ta pochodną funkcji, a granicą wyrażenia $Δ^n f(x)/Δx^n$ dla Δx=0................ 229
§ 199. Wielomian Lagrange'a................. 233
§ 200. Uogólnienie twierdzenia Rolle'a................ 234
§ 201. Wzór interpolacyjny Lagrange'a z resztą w formie Cauchy'ego................ 235
§ 202. Wzór interpolacyjny Newtona................ 237
§ 203. Wywód wzoru Taylora ze wzoru interpolacyjnego Newtona................ 238

ROZDZIAŁ XXV. Funkcje dwuch zmiennych rzeczywistych

§ 204. Funkcja dwuch zmiennych rzeczywistych................ 240
§ 205. Pochodne cząstkowe; związek między ich istnieniem a ciągłością funkcji................ 242
§ 206. Funkcje złożone; ich ciągłość i pochodna................ 244
§ 207. Pochodna funkcji uwikłanej................ 248
§ 208. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Zmiana porządku różniczkowania................ 252
§ 209. Pochodne cząstkowe rzędów wyższych................ 258
§ 210. Wzór Taylora dla funkcji dwuch zmiennych................ 260