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PRÉFACE.............................................. III
ERRATA............................................... VIII

CHAPITRE I. Fonctions de figure élémentaire.
Fonctions d'ensemble. Remarques préliminaires [§ 1].. 1
Termes et notations [§ 2-4].......................... 2
Intervalle. Figure élémentaire [§ 5].......................... 5
Fonctions de figure élémentaire [§ 6].......................... 6
Fonctions continues. Oscillation [§ 7].......................... 7
Fonctions additives. Variations [§ 8-9].......................... 7
Décomposition canonique de Jordan [§ 10].......................... 8
Fonctions monotones [§ 11].......................... 9
Ecarts des fonctions. Fonctions absolument continues [§ 12].......................... 10
Fonctions singulières. Décomposition de Lebesgue [§ 13].......................... 11
Fonctions d'une variable réelle [§ 14-15].......................... 17

CHAPITRE II. Mesure de Lebesgue. Ensembles et fonctions mesurables.
Préliminaires [§ 1].......................... 22
Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24
Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26
Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33
Fonctions de point [§ 8].......................... 36
Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36
Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40
Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42
Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44

CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées.
Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46
Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48
Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52
Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53
Fonctions singulières [§ 7].......................... 55
Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56

CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive)
Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61
Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64
Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65
Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68
Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69
Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76

CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique).
Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78
Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82
Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84
Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85
Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88
Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91

CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y)
Préliminaires [§ 1].......................... 99
Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101
Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102
Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107
Fonctions a variation bornée et absolument continues de deux
variables [§10]....................................................... 108
Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109
Théorème de Radó [§ 14].......................... 116
Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120

CHAPITRE VII. Intégrale de Perron
Préliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122
Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126
Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128
Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128
Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132
Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137
Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138
Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139

CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée.
Préliminaires [§ 1].......................... 142
Théorème de Baire [§ 2].......................... 144
Limites approximatives [§ 3].......................... 144
Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146
Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148
Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150
Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151
Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152
Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153
Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158
Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160
Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161
Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161
Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164

CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives.
Préliminaires [§ 1].......................... 167
Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167
Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168
Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177
Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180
Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182
Condition (D) [§ 9].......................... 185
Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188
Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190

CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy.
Préliminaires [§ 1].......................... 197
Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197
Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200
Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201
Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203
Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204
Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205
Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211
Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217
Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219

CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles.
Préliminaires [§ 1].......................... 222
Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223
Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225
Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233
Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239
Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242

ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits.
Généralités [§ 1].......................... 247
Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247
Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251
Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251
Espaces-produits [§ 9].......................... 257
Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259
NOTE. Sur la mesure de Haar par STEFAN BANACH.................................... 264
OUVRAGES CITÉS....................................................................... 273
INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285
INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285