Książka - szczegóły

SPIS RZECZY

WSTĘP

§ 1. Teoria mnogości, a w szczególności teoria mocy zbiorów.................. 1
§ 2. Przestrzenie kartezjańskie $R_n$........................................ 8
§ 3. Przestrzenie metryczne i przestrzenie ℒ*................................ 17
§ 4. Funkcje rzeczywiste w przestrzeniach $R_n$.............................. 19

KSIĘGA PIERWSZA

ELEMENTARNA TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

ROZDZIAŁ I. Algebra Boole'a

§ 1. Uwagi wstępne, treść rozdziału.............................. 23
§ 2. Określenie ciał Boole'a.............................. 24
§ 3. Omówienie postulatów układu (B). Twierdzenie o dwoistości.............................. 26
§ 4. Elementarne twierdzenia algebry Boole'a.............................. 28
§ 5. Zawieranie (implikacja). Ciała Boole'a jako zbiory częściowo uporządkowane.............................. 32
§ 6. Działania nieskończone w ciałach Boole'a.............................. 35
§ 7. Ciała zbiorów.............................. 39
§ 8. Podciała.............................. 42
§ 9. Ciało figur elementarnych.............................. 46
§ 10. Homomorfizm, izomorfizm, kongruencje oraz ciała ilorazowe i zrelatywizowane.............................. 49
§ 11. Zastosowanie teorii ciał Boole'a do logiki.............................. 55
§ 12. Atomy, ciała atomowe.............................. 61
§ 13. Metoda scalania atomów.............................. 64
§ 14. Przykłady i zadania.............................. 66

ROZDZIAŁ II. Ideały, ciała zdarzeń

§ 1. Treść rozdziału.............................. 68
§ 2. Ideały w ciałach Boole'a.............................. 69
§ 3. Twierdzenie o izomorfizmie ciał Boole'a z ciałami zbiorów.............................. 72
§ 4. Struktura ideałów.............................. 75
§ 5. Różnica i różnica symetryczna.............................. 77
§ 6. Ideały a kongruencje.............................. 79
§ 7. Zdarzenia i ciało zdarzeń.............................. 82
§ 8. Relatywizacja ciała zdarzeń. Ciała kanoniczne. Scalanie ciał kanonicznych............................. 86
§ 9. Przykład zastosowania i wyjaśnienie intuicyjne operacji wprowadzonych w § 8.............................. 87
§ 10. Produktowanie w ciele zdarzeń.............................. 90
§ 11. Zespoły regularne ciał kanonicznych.............................. 93
§ 12. Zespoły regularne ciał scalonych.............................. 95
§ 13. Przykład zastosowania i wyjaśnienie intuicyjne operacji wprowadzonych w § 10-12.............................. 97
§ 14. Zespoły osobliwe.............................. 100
§ 15. Klasyfikacja zespołów osobliwych.............................. 108
§ 16. Przykłady i zadania.............................. 112

ROZDZIAŁ III. Pojęcie i najprostsze własności prawdopodobieństwa

§ 1. Treść rozdziału.............................. 114
§ 2. Aksjomatyka prawdopodobieństwa.............................. 114
§ 3. Najprostsze twierdzenia o prawdopodobieństwie.............................. 117
§ 4. Twierdzenia o prawdopodobieństwie złożonym.............................. 124
§ 5. Niezależność losowa zdarzeń.............................. 126
§ 6. Pojęcie zmiennej losowej i nadziei matematycznej.............................. 129
§ 7. Ciała losowe nasycone.............................. 132
§ 8. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.............................. 132
§ 9. Przykłady i zadania.............................. 135

ROZDZIAŁ IV. Schemat Bernoulliego

§ 1. Treść rozdziału.............. 137
§ 2. Pojęcia zjawiska i zespołu prób losowych.............................. 138
§ 3. Niezależność prób. Schematy Bernoulliego.............................. 141
§ 4. Nadzieja matematyczna częstości zjawiska C w n próbach.............................. 144
§ 5. Wzór asymptotyczny na $P_{nk}$ dla schematu Bernoulliego.............................. 147
§ 6. Prawo wielkich liczb J. Bernoulliego.............................. 152
§ 7. Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.............................. 157
§ 8. Wzór Poissona na $P_{nk}$ w przypadku zjawisk rzadkich.............................. 162
§ 9. Pomocnicze wiadomości z kombinatoryki.............................. 163
§ 10. Wielokrotny schemat Bernoulliego.............................. 164
§ 11. Maksimum prawdopodobieństwa $P_n^{k_1,k_2,...,k_n}$.............................. 166
§ 12. Wzór asymptotyczny na P_n^{k_1,k_2,...,k_n}.............................. 167
§ 13. Częstość zjawisk i prawo wielkich liczb w wielokrotnym schemacie Bernoulliego.............................. 169
§ 14. Twierdzenie Jordana.............................. 172
§ 15. Przykłady i zadania.............................. 173
KSIĘGA DRUGA.

ELEMENTY TEORII FUNKCJI RZECZYWISTYCH

ROZDZIAŁ V. Funkcje niemalejące

§ 1. Treść rozdziału.............................. 175
§ 2. Funkcje niemalejące n zmiennych.............................. 175
§ 3. Nieciągłości funkcji niemalejących.............................. 178
§ 4. Zbieżność ciągłościowa funkcji niemalejących.............................. 182
§ 5. Odwracanie funkcji niemalejących jednej zmiennej.............................. 185
§ 6. Przykłady i zadania.............................. 188

ROZDZIAŁ VI. Funkcje n-wymiarowo niemalejące

§ l. Treść rozdziału.............................. 190
§ 2. Operatory różnicowe.............................. 190
§ 3. Operatory różnicowe i różniczkowanie cząstkowe.............................. 194
§ 4. Funkcje n-wymiarowo niemalejące.............................. 196
§ 5. Funkcje niemalejące a funkcje n-wymiarowo niemalejące.............................. 197
§ 6. Zbieżność ciągłościowa funkcji n-wymiarowo niemalejących.............................. 200
§ 7. Przykłady i zadania.............................. 201

ROZDZIAŁ VII. Miary w ciałach Boole'a

§ 1. Treść rozdziału.............................. 202
§ 2. Określenie miary.............................. 202
§ 3. Miary zewnętrzne Carathéodory'ego.............................. 204
§ 4. Miary zewnętrzne Carathéodory'ego w przestrzeniach metrycznych.............................. 208
§ 5. Twierdzenie Frécheta-Nikodyma.............................. 210
§ 6. Aproksymacja miary rozszerzonej za pomocą funkcji rozszerzanej. Rozszerzenie minimalne.............................. 214
§ 7. Przykłady i zadania....................... 217

ROZDZIAŁ VIII. Miary w przestrzeniach euklidesowych

§ 1. Treść rozdziału.............................. 219
§ 2. Funkcje przedziału stowarzyszone z funkcjami n-wymiarowo niemalejącymi.............................. 219
§ 3. Rozszerzenie funkcji stowarzyszonych na ciało figur elementarnych.............................. 224
§ 4. Miary stowarzyszone.............................. 225
§ 5. O funkcjach n-wymiarowo niemalejących ograniczonych.............................. 226
§ 6. Miara Lebesgue'a.............................. 232
§ 7. Przykłady i zadania.............................. 233

ROZDZIAŁ IX. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa

§ 1. Treść rozdziału.............................. 234
§ 2. Funkcje mierzalne.............................. 234
§ 3. Sumy przybliżone Lebesgue'a-Stieltjesa.............................. 238
§ 4. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa.............................. 243
§ 5. Całkowanie ciągów funkcji.............................. 251
§ 6. Miary pochodne w przestrzeniach euklidesowych.............................. 254
§ 7. Całki Lebesgue'a-Stieltjesa w przestrzeniach euklidesowych.............................. 255
§ 8. Całka Riemanna-Stieltjesa.............................. 257
§ 9. Przykłady i zadania.............................. 260

SKOROWIDZ NAZW................................. 262