Książka - szczegóły

PRZEDMOWA................. III
ERRATA.................... VII
WSTĘP

TEORIA MNOGOŚCI
§ 1. Definicje podstawowe....... 1
§ 2. Zbiory przeliczalne......... 3
§ 3. Przestrzeń topologiczna abstrakcyjna..... 4
§ 4. Zbiory domknięte i otwarte........ 6
§ 5. Zbiory spójne....................... 11
§ 6. Zbiory zwarte....................... 13
§ 7. Przekształcenia ciągłe................ 15
§ 8. Płaszczyzna........................... 17
§ 9. Zbiory spójne na płaszczyźnie.......... 26
§ 10. Siatki kwadratowe na płaszczyźnie.......... 32
§ 11. Funkcje zespolone i rzeczywiste................. 36
§ 12. Krzywe.................................... 38
§ 13. Iloczyn kartezjański zbiorów...................... 41

ROZDZIAŁ I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
§ 1. Funkcje ciągłe......................................... 43
§ 2. Ciągi jednostajne i niemal jednostajnie zbieżne......... 46
§ 3. Rodziny normalne funkcyj.......................... 49
§ 4. Funkcje jednakowo ciągłe............................. 53
§ 5. Różniczka zupełna................................. 54
§ 6. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy-Riemanna.......... 56
§ 7. Funkcja wykładnicza....................... 59
§ 8. Funkcje trygonometryczne........................... 61
§ 9. Argument....................................... 67
§ 10. Logarytm................................. 70
§ 11. Gałąź logarytmu, argumentu i potęgi.............. 73
§ 12. Kąt między półprostymi....................... 76
§ 13. Styczna do krzywej....................... 78
§ 14. Przekształcenia homograficzne............... 79
§ 15. Przekształcenia podobnościowe............. 85
§ 16. Krzywe regularne..................... 89
§ 17. Całka krzywoliniowa................. 90
§ 18. Przykłady......................... 92

ROZDZIAŁ II. FUNKCJE HOLOMORFICZNE
§ 1. Pochodna w dziedzinie zespolonej......... 95
§ 2. Funkcja pierwotna.................. 97
§ 3. Różniczkowanie całki względem parametru zespolonego.......... 103
§ 4. Twierdzenie Cauchy'ego dla prostokąta....... 105
§ 5. Wzór Cauchy'ego dla układu prostokątów.................... 108
§ 6. Ciągi niemal jednostajnie zbieżne funkcji holomorficznych...... 112
§ 7. Twierdzenie Stieltjesa-Osgooda..................... 115
§ 8. Twierdzenie Morery............. 116

ROZDZIAŁ III. FUNKCJE MEROMORFICZNE
§ 1. Szereg potęgowy w kole zbieżności................ 120
§ 2. Twierdzenie Abela........................... 124
§ 3. Rozwinięcie Log(1-z)............. 130
§ 4. Szereg Laurenta. Pierścień zbieżności............ 132
§ 5. Rozwinięcia Laurenta w otoczeniu pierścieniowym........ 136
§ 6. Punkty osobliwe odosobnione......................... 138
§ 7. Funkcje regularne, meromorficzne, wymierne.............. 140
§ 8. Pierwiastki funkcji meromorficznej.................. 145
§ 9. Pochodna logarytmiczna...................... 148
§ 10. Twierdzenie Rouché..................... 150
§ 11. Twierdzenie Hurwitza.................... 153
§ 12. Odwzorowanie określone przez funkcje meromorficzne............. 156
§ 13. Funkcje holomorficzne dwu zmiennych.................. 160
§ 14. Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa................... 162

ROZDZIAŁ IV. ELEMENTARNE METODY GEOMETRYCZNE TEORII FUNKCJI
§ 1. Przesuwanie biegunów......................... 166
§ 2. Twierdzenie Rungego. Twierdzenie Caychy'ego dla obszaru jednospójnego.......... 172
§ 3. Gałąź logarytmu....................... 175
§ 4. Wzór Jensena.......................... 176
§ 5. Przyrosty logarytmu i argumentu wzdłuż krzywej...................... 178
§ 6. Indeks punktu względem krzywej.............................. 181
§ 7. Twierdzenie o residuach............................. 184
§ 8. Metoda residuów w obliczaniu całek oznaczonych................ 188
§ 9. Twierdzenie i wzór Cauchy'ego dla pierścienia................. 191
§ 10. Definicja analityczna obszaru jednospójnego................. 198
§ 11. Twierdzenie Jordana dla łamanej zamkniętej.................. 200
§ 12. Definicja analityczna stopnia spójności obszaru............. 203

ROZDZIAŁ V. PRZEKSZTAŁCENIA WIERNE
§ 1. Definicja................................... 207
§ 2. Przekształcenia homograficzne............... 209
§ 3. Symetria względem okręgu.................... 210
§ 4. Czynniki Blaschkego........................... 213
§ 5. Lemmat Schwarza............................. 215
§ 6. Twierdzenie Riemanna.................... 218
§ 7. Twierdzenie Radó....................... 223
§ 8. Wzory Schwarza-Christoffela................... 224

ROZDZIAŁ VI. FUNKCJE ANALITYCZNE
§ 1. Uwagi wstępne..................... 230
§ 2. Element analityczny................ 231
§ 3. Przedłużenie analityczne wzdłuż krzywej.................. 237
§ 4. Funkcja analityczna........................... 238
§ 5, Odwrócenie funkcji analitycznej.................... 244
§ 6. Funkcje analityczne dowolnie przedłużalne w obszarze.................... 246
§ 7. Twierdzenie Poincarégo-Volterry............................. 249
§ 8. Funkcja analityczna jako przestrzeń abstrakcyjna.................... 250
§ 9. Funkcje analityczne w otoczeniu pierścieniowym punktu................ 251
§ 10. Funkcja analityczna w otoczeniu pierścieniowym jako przestrzeń abstrakcyjna............... 255
§ 11. Punkty krytyczne.............................. 256
§ 12. Punkty krytyczne algebraiczne.......................... 258
§ 13. Twierdzenie pomocnicze algebry......................... 259
§ 14. Funkcje o punktach krytycznych algebraicznych............ 261
§ 15. Funkcje algebraiczne............................ 265
§ 16. Powierzchnie Riemanna.......................... 267

ROZDZIAŁ II. FUNKCJE CAŁKOWITE
§ 1. Iloczyny nieskończone....................... 275
§ 2. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie funkcyj całkowitych na iloczyny............. 283
§ 3. Twierdzenie Mittag-Lefflera o rozkładzie funkcyj meromorficznych na ułamki proste............... 289
§ 4. Metoda Cauchy'ego rozwijania funkcyj meromorficznych na ułamki proste.............. 294
§ 5. Przykłady rozwinięć funkcyj całkowitych i meromorficznych................ 297
§ 6. Rząd funkcji całkowitej.................... 306
§ 7. Zależność rzędu funkcji całkowitej od spółczynników jej rozwinięcia na szereg Taylora......... 311
§ 8. Wykładnik zbieżności pierwiastków funkcji całkowitej...................... 314
§ 9. Iloczyn kanoniczny...................... 316
§ 10. Twierdzenie Hadamarda.................... 318
§ 11. Twierdzenie Borela o pierwiastkach funkcyj całkowitych................................ 324
§ 12. Małe twierdzenie Picarda........................ 326
§ 13. Twierdzenie Schottky'ego. Twierdzenie Montela. Wielkie twierdzenie Picarda........... 331
§ 14. Twierdzenie Landau'a................ 338

ROZDZIAŁ VIII. FUNKCJE ELIPTYCZNE
§ 1. Uwagi ogólne o funkcjach okresowych............ 341
§ 2. Rozwinięcie funkcji okresowej w szereg Fouriera............ 345
§ 3. Twierdzenia ogólne o funkcjach eliptycznych.............. 348
§ 4. Funkcja ρ(z)................ 353
§ 5. Równanie różniczkowe funkcji ρ(z)..................... 356
§ 6. Funkcje ζ(z) i σ(z)........................ 359
§ 7. Budowanie funkcyj eliptycznych przy pomocy funkcji σ(z)............... 362
§ 8. Wyrażanie funkcyj eliptycznych przez funkcje ζ(z) i ρ(z)........... 364
§ 9. Twierdzenie algebraiczne o dodawaniu dla funkcji ρ(z)................. 368
§ 10. Związki algebraiczne między funkcjami eliptycznymi................ 369
§ 11. Funkcja modułowa J(τ)............................ 370
§ 12. Dalsze własności funkcji J(τ).......................... 375
§ 13. Rozwiązanie układu równań $g_2(ω,ω') = a, g_3(ω,ω') = b$............ 384
§ 14. Całki eliptyczne.......................... 385

ROZDZIAŁ IX. SZEREGI DIRICHLETA
§ 1. Funkcja Γ(s)........................ 393
§ 2. Funkcja B(p,q)..................... 398
§ 3. Wzory Hankela na funkcję Γ(s)................... 399
§ 4. Wzór Stirlinga............................... 402
§ 5. Funkcja ζ(s) Riemanna....................... 405
§ 6. Równanie funkcyjne funkcji ζ(s)................ 409
§ 7. Pierwiastki funkcji ζ(s)...................... 410
§ 8. Szeregi Dirichleta............................. 412

SKOROWIDZ NAZW....................... 421
SKOROWIDZ NAZWISK......................... 426
SKOROWIDZ ZNAKÓW............................... 427