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1

Sur la décomposition d'un segment en une infinité d'ensembles non mesurables superposables deux à deux

100%

Mazurkiewicz S.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

8-14

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe une décomposition du segment 0 ≤ x ≤ 1 en c ensembles non mesurables, sans points communs, superposables deux à deux par translation (c désigne la puissance du continu).

2

Sur le problème de la mesure

100%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1923

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tom 4

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nr 1

7-33

FR

Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).

3

Contributions à l'étude de l'espace métrique I

100%

Lindebaum A.

Fundamenta Mathematicae

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1926

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tom 8

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nr 1

209-222

FR

Le but principal de cette note est de examiner la propriété singulière d'un ensemble de points d'être superposable avec son vrai sous - ensemble. L'auteur étudie encore la notion de congruence et notions générales.

4

Sur un ensemble non dénombrable de points, superposable avec les moitiés de sa partie aliquote

100%

Ruziewicz S.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

4-7

FR

Le but de cette note est de démontrer l'existence d'un ensemble plan non dénombrable, superposable avec deux de ses sous-ensembles qui sont sans points communs.

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4 Fundamenta Mathematicae

1 Banach S.

1 Lindebaum A.

1 Mazurkiewicz S.

1 Ruziewicz S.

1 1926

1 1923

2 1921

Sur la décomposition d'un segment en une infinité d'ensembles non mesurables superposables deux à deux

Sur le problème de la mesure

Contributions à l'étude de l'espace métrique I

Sur un ensemble non dénombrable de points, superposable avec les moitiés de sa partie aliquote