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1

Sur l'existence d'un ensemble non dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait

100%

Lusin N.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

155-157

FR

Le but de cette note est de démontrer (sans l'hypothése que 2^{א_0}=א_1) qu'il existe dans l'intervalle (0,1) un ensemble non dénombrable G qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait situé dans (0,1).

2

Sur la décomposition d'un segment en une infinité d'ensembles non mesurables superposables deux à deux

86%

Mazurkiewicz S.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

8-14

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe une décomposition du segment 0 ≤ x ≤ 1 en c ensembles non mesurables, sans points communs, superposables deux à deux par translation (c désigne la puissance du continu).

3

Sur un problème de la théorie de la mesure. I

86%

Mirimanoff D.

Fundamenta Mathematicae

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1923

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tom 4

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nr 1

76-81

FR

Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E_x des parallèles à Oy et par les points de E_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E_{λ} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E_{λ} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E_x, E_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E_{λ} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E_x, E_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E_x, E_y est un ensemble parfait de Cantor.

4

Sur un ensemble abstrait, dont chaque élément est un élément limite de chaque sous ensemble non dénombrable

86%

Knaster B., Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

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1922

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tom 3

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nr 1

35-40

FR

Le but de cette note est de prouver l'existence et, en même temps, d'indiquer quelques caractères fondamentaux des classes ℒ (au sens de Fréchet) non dénombrables jouissant de la propriété suivante: Chaque élément de la classe considérée est un élément limite de chaque non dénombrable qui en fait partie.

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4 Fundamenta Mathematicae

1 Knaster B.

1 Lusin N.

1 Mazurkiewicz S.

1 Mirimanoff D.

1 Sierpiński W.

1 1923

1 1922

2 1921

Sur l'existence d'un ensemble non dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait

Sur la décomposition d'un segment en une infinité d'ensembles non mesurables superposables deux à deux

Sur un problème de la théorie de la mesure. I

Sur un ensemble abstrait, dont chaque élément est un élément limite de chaque sous ensemble non dénombrable