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1
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Un problème sur les ensembles homogènes

100%
Kuratowski K.
Fundamenta Mathematicae
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1922
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tom 3
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nr 1
14-19
FR
Le but de cette note est de donner un exemple d'un ensemble homogène qui ne vérifie pas la propriété suivante: Condition: Soit E un ensemble homogène., a et b étant deux points quelconques de E, il existe une transformation biunivoque et bicontinue de l'ensemble E en lui-même, qui transforme a en b et b en a simultanément. et d'envisager une classe d'ensemble homogènes qui remplissent la condition ci-dessus.
2
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Sur un problème de M. Fréchet concernant les dimensions des ensembles linéaires

100%
Kuratowski K., Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1926
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tom 8
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nr 1
193-200
FR
Monsieur Fréchet exprima l'opinion qu'il serait intéressant de cherchers si, parmi les nombres de dimension, il en existe un qui précède immédiatement celui de l'ensemble de tous les nombres irrationnels et un autre qui suit immédiatement celui de l'ensemble de tous les nombres rationnels (ont dit que les ensembles E et H ont le même nombre de dimension, si E est homéomorphe d'un sous - ensemble de H et inversement). Le but de cette note est de donner une solutions négative du premier problème, et de prouver que le second se résolut négativement, si l'on admet l'hypothèse du continu.
3
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Sur un ensemble non dénombrable dont tout homéomorphe est de mesure nulle

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1925
|
tom 7
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nr 1
188-190
FR
Le but de cette note est de prouver l'existence (sans admettre l'hypothèse du continu) d'un ensemble linéaire non dénombrable N, tel que tout ensemble linéaire homéomorphe de N est de mesure lebesguienne nulle.
4
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Un lemme métrique

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1923
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tom 4
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nr 1
201-203
FR
Le but de cette note est de démontrer le lemme: Lemme: Soit E un ensemble linéaire borné et soit ℱ une famille d'intervalles, telle que tout point x de E est une extrémité gauche d'un au moins intervalle δ(x) de famille ℱ. Thèse: ϵ étant un nombre positif donné quelconque, il existe toujours un nombre fini N=N(ϵ) d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) de la famille ℱ, n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que la mesure extérieure (lebesguienne) de l'ensemble de ces points de E qui n'appartiennent à aucun d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) est < ϵ.
5
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Sur une opération sur les suites infinies d'ensembles

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 6
|
nr 1
100-105
FR
E_1,E_2,E_3,… étant une suite infinie donnée d'ensembles, il est naturel d'envisager les suites descendentes d'ensembles tirées de la suite donnée, c'est-à-dire des suites infinies d'ensembles E_(n_1),E_(n_2),E_(n_3),… telles que E_(n_1) ⊃ E_(n_2) ⊃ E_(n_3),… et n_1 < n_2 < n_3 <… Desiginon par A(E_1,E_2,E_3,…) la somme de tous les produits E_(n_1) E_(n_2) E_(n_3)… , la sommation s'etendant à toutes les suites infinies descendentes d'ensembles, tirees de la suite E_1,E_2,E_3,… Supposons en particulier, que E_1,E_2,… sont des ensembles lineaires fermes: le but de cette note est de prouver que les ensembles A(E_1,E_2,E_3,…) coïncident avec les ensembles (A) de Souslin.
6
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Sur un problème concernant les sous-ensembles croissants du continu

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1922
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tom 3
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nr 1
109-112
FR
Le but de cette note est de donner la réponse au problème posé par monsieur Knaster: Problème: Existe - il un ensemble ordonné linéairement, de puissance supérieure à celle du continu, possédant un sous-ensemble dense de puissance du continu?
7
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Sur l'existence d'un ensemble non dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait

88%
Lusin N.
Fundamenta Mathematicae
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1921
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tom 2
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nr 1
155-157
FR
Le but de cette note est de démontrer (sans l'hypothése que 2^{א_0}=א_1) qu'il existe dans l'intervalle (0,1) un ensemble non dénombrable G qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait situé dans (0,1).
8
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Sur l'ensemble des points de convergence d'une suite de fonctions continues

75%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1921
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tom 2
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nr 1
41-49
FR
L'object de cette note est la démonstration du théorème suivant: Pour tout ensemble F_{σδ} linéaire donné E il existe une siute infinie des fonctions continues d'une variable réelle x, F_n(x) (n=1,2,3,...), qui converge vers 0 pour les nombres x de E et diverge pour tous les autres x réels.
9
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Sur un théorème métrique concernant les ensembles fermés

75%
Spława-Neyman J.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 5
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nr 1
328-330
FR
Le but de cette note est de démontrer le suivant: Théorème: Soit F un ensemble linéaire fermé et borné de mesure nulle, ℱ une famille d'intervalles, telle qu'il existe pour tout point p de F et tout nombre positif ϵ un intervalle δ de ℱ de longueur < ϵ contenant à son interieur p. Il existe alors pour tout ϵ > 0 un nombre fini d'intervalles δ_i(i=1,2,...,n) de ℱ, recouvrant F et dont la somme de longueurs est < ϵ.
10
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Sur quelques propriétés topologiques du plan

63%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1923
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tom 4
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nr 1
1-6
FR
Le but de cette note est de démontrer le suivant: Théorème 1: (1) Il existe une décomposition du plan en une somme de trois ensembles dont chacun est homéomorphe d'un ensemble linéaire, (2) Il n'existe aucune décomposition du plan en une somme de deux ensembles dont chacun soit homéomorphe d'un ensemble linéaire, (3) Il existe dans le plan un ensemble connexe qui est une somme d'une infinité dénombrable d'ensembles séparés deux a deux. et de construire des ensembles plans possédant quelques singularités intéressantes.
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