The purpose of the present note is to show that no connected point set can have more than one point such that when it is removed, the reminder is totally disconnected.
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Le but de cette note est de démontrer la solution de problème suivant: L'espace R^q où q>1, contient-il des ensembles ponctiformes qui ne sont homéomorphes à aucun ensemble linéaire?
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Tout continu borné de Jordan contient deux points au moins qui ne le coupent pas (séparément). Théorème: Chaque continu non-borné de Jordan contient un continu borné qui le coupe. Théorème: Si aucun sous-continu d'un continu borné C ne coupe C, C est une courbe simple fermée.
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Définition: On dit que'un ensemble de points P est dispersé, s'il ne contient aucun ensemble connexe contenant plus qu'un point. Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants: Problème 1: Deux points d'un ensemble dispersé, sont-ils nécessairement séparés dans cet ensemble? Problème 2: P étant un ensemble dont tout deux points sont séparés dans P, a étant un point donné de P et ϵ un nombre positif donné, peut-on toujours décomposer P en deux ensembles séparés A et B de sorte que A contienne a et que le diamètre de A soit < ϵ ? Problème 3: Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble punctiforme (situé dans l'espace à m dimensions) soit homéomorphe avec un ensemble linéaire? et Problème 4: Un complémentaire d'un ensemble punctiforme situé dans l'espace à m>1 dimensions est-il toujours connexe?
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Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.
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Le but de cette note est de déterminer la puissance de deux classes de types topologiques dénombrables: de celle des types dénombrables fermés et de celle des types clairsemés. Mazurkiewicz et Sierpiński démontrent que la puissance de la première de ces classes est א_1 et que la seconde classe est de puissance du continu.
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L'objet de cette note est la démonstration du théorème suivant: Il existe dans R_2 un ensemble E conexe qui ne contient aucun sous-ensemble connexe borné.
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Cet article est une remarque sur la notion d'ensemble parfait de 1^{er} espèce. L'auteur formule les corollaire et critères concernant les propriétés des ensembles parfaits de 1^{er} espèce.
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si continu C contient un point de connexité, C appartient à une de quatre classes des continus: 1. rayons, 2. continus composés d'une courbe simple fermée et d'un arc simple n'ayant en commun qu'une extrémité de l'arc simple; 3. arcs simples; 4. courbes simples fermées.
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une somme d'une infinité quelconque d'ensembles clairsemés, tels que de tous deux un est contenu dans l'autre, est effectivement énumerable.
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On appelle ponctiforme tout ensemble de points qui ne contien aucun continu (cantorien). Le but de cette note est de démontrer qu'il existe un ensemble plan ponctiforme et connexe.
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Madame Anna Mullikin a démontre le théorème suivant: Théorème: Si M est la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles fermes sans points communs deux a deux: M_1,M_2,... dont aucun ne décompose pas (disconnects) un plan S, alors M ne décompose S. Le but de cette note est de donner une nouvelle démonstration de ce théorème.
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Le but de cette note est de compléter le prouve du théorème de Schoenflies: Théorème: Si, l'on a une correspondance, univoque et continue dans les deux sens, entre les points de deux ensembles fermes de deux espaces à n dimensions: • les points intérieurs des deux ensembles se correspondent; • les points frontières, limites des points intérieurs, se correspondent, ainsi que les points frontières, non limites de points intérieurs.
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Le but de cette note est détablir certaines conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un continu donné soit indécomposable et d'en signaler quelques propriétés singulières.
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Cette note contient la solution d'un problème posé par Sierpiński (voir p. 81): Définition: Un ensemble A est quasi-connexe si à tout point p ⊂ A on peut faire correspondre un nombre λ > 0 de manière qu'il n'existe aucune décomposition A=A_1+A_2 remplissant les conditions: A_1 × Ā_2 = Ā_1 × A_2 = 0 p ⊂ A_1; δ(A_1) < λ Théorème: Il existe un ensemble plan A quasi-connexe et tel que tous deux points de A sont séparés dans A.
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On dit qu'une fonction f(x) satisfait à la condition de Baire relativement à un ensemble parfait P, si elle est continue sur P quand on néglige un ensemble de première catégorie par rapport à P. Dans ce cas il existe toujours une infinité des ensembles E de première catégorie par rapport à P, tels que f(x) est continue sur P-E. Le but de cette note est de démontrer que parmi ces ensembles il existe toujours le plus petit.
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Le but de cette note est d'obtenir une définition des lignes de Jordan purement topologique, basée sur certaines propriétés caractéristiques de ces ensembles.
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Le but de cette note est de donner une définition positive des ensembles complémentaires aux ensembles (A) et de l'appliquer ensuite à la démonstration de l'invariance topologique de ces ensembles.
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Le but de cette note est de de démontrer Théorème: Pour qu'un ensemble E, situe dans un espace à m dimensions, soit G_(δ), il faut et il suffit qu'il existe une famille dénombrable ℱ de sous-ensembles de E, ouverts dans E et tels que • tout point p de E est un produit d'une suite descendente et convergente vers p d'ensembles de la famille ℱ • tout suite descendente d'ensembles distincts de la famille ℱ converge vers un point de E.
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Il existe un continu plan non borné décomposable en une somme d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés non vides, n'ayant deux à deux aucun point commun. Théorème: Un continu plan non borné ne peut être décomposé en une somme d'une infinité dénombrable de continus n'ayant deux à deux aucun point commun.
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