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1
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Un lemme métrique

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1923
|
tom 4
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nr 1
201-203
FR
Le but de cette note est de démontrer le lemme: Lemme: Soit E un ensemble linéaire borné et soit ℱ une famille d'intervalles, telle que tout point x de E est une extrémité gauche d'un au moins intervalle δ(x) de famille ℱ. Thèse: ϵ étant un nombre positif donné quelconque, il existe toujours un nombre fini N=N(ϵ) d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) de la famille ℱ, n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que la mesure extérieure (lebesguienne) de l'ensemble de ces points de E qui n'appartiennent à aucun d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) est < ϵ.
2
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Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1920
|
tom 1
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nr 1
112-115
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe un ensemble plan qui est de mesure nulle sur toute droite, mais qui n'est pas mesurable superficiellement.
3
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Sur un problème de la théorie de la mesure. II

100%
Mirimanoff D.
Fundamenta Mathematicae
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1923
|
tom 4
|
nr 1
118-121
FR
Le but de cette note est de généraliser les résultats établis dans la note: "Sur un problème de la théorie de la mesure. I", publiée dans ce journal.
4
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Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

100%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
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1920
|
tom 1
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nr 1
123-124
FR
Le but de cette note est de démontrer que toute fonction mesurable f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est continue (donc, d'après Cauchy, de la forme Ax).
5
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Sur les rapports entre l'existence des intégrales $∫_0^1f(x,y)dx$, $∫_0^1f(x,y)dy$ et $∫_0^1dx∫_0^1f(x,y)dy$

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
|
nr 1
142-147
FR
Le but de cette note est de démontrer que la réponse au problème (posée par Stanisław Ruziewicz) suivant: L'existence (pour une function bornée f(x,y), définie dans le carré 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) des intégrales au sens de Lebesgue: ∫_0^1f(x,y)dx pour 0 ≤ y ≤ 1 ∫_0^1f(x,y)dy pour 0 ≤ x ≤ 1 entraîne-t-elle toujours l'existence de l'intégrale (au sens de Lebesgue) ∫_0^1 dx∫_0^1f(x,y)dy ? est négative, si l'on admet l'hypothèse du continu.
6
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Sugli insiemi non misurabili L

100%
Wilkosz W.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
|
nr 1
82-92
IT
Il scopo di questo studio e di esporrare alcuni teoremi riguardanti degli insiemi non misurabili nel senso di Lebesgue, e di aprendere cosi la via per una trattazione generale.
7
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Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive

100%
Steinhaus H.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
|
nr 1
93-104
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble linéaire de mesure positive contient deux points distincts a et b de distance rationnelle et de donner quelques généralisations faciles du théorème.
8
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Sur l'équation fonctionnelle f(x) + f(x+y)

100%
Kaczmarz S.
Fundamenta Mathematicae
|
1924
|
tom 6
|
nr 1
122-129
FR
Le but de cette note est l'étude de l'équation fonctionnelle f(x)+f(x+y)= φ(y)f(x+y/2) où φ (x) est regardée comme une fonction donnée, et f(x) comme l'inconnue.
9
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Sur la question de la mesurabilité de la base de M. Hamel

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
|
nr 1
105-111
FR
Le but de cette note est de démontrer que la base de Hamel peut être mesurable au sens de Lebesgue.
10
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Sur les fonctions convexes mesurables

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
|
nr 1
125-128
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable et convexe dans l'intervalle est continue à l'intérieur de cet intervalle.
11
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Démonstration élémentaire du théorème sur la densité des ensembles

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1923
|
tom 4
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nr 1
167-171
FR
Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Presque tous les points d'un ensemble E quelconque situé dans l'espace à q dimensions, sont points de densité extérieure de E.
12
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Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1920
|
tom 1
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nr 1
116-122
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Toute fonction mesurable f(x) qui satisfait pour tous les nombres réels x et y à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est de la forme Ax où A est une constante.
13
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Sur le problème de la mesure

75%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
|
1923
|
tom 4
|
nr 1
7-33
FR
Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).
14
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Sur un problème de la théorie de la mesure. I

75%
Mirimanoff D.
Fundamenta Mathematicae
|
1923
|
tom 4
|
nr 1
76-81
FR
Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E_x des parallèles à Oy et par les points de E_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E_{λ} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E_{λ} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E_x, E_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E_{λ} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E_x, E_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E_x, E_y est un ensemble parfait de Cantor.
15
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Sur un théorème métrique concernant les ensembles fermés

75%
Spława-Neyman J.
Fundamenta Mathematicae
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1924
|
tom 5
|
nr 1
328-330
FR
Le but de cette note est de démontrer le suivant: Théorème: Soit F un ensemble linéaire fermé et borné de mesure nulle, ℱ une famille d'intervalles, telle qu'il existe pour tout point p de F et tout nombre positif ϵ un intervalle δ de ℱ de longueur < ϵ contenant à son interieur p. Il existe alors pour tout ϵ > 0 un nombre fini d'intervalles δ_i(i=1,2,...,n) de ℱ, recouvrant F et dont la somme de longueurs est < ϵ.
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