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1

Sur les séries de fonctions orthogonales

100%

Menchoff D.

Fundamenta Mathematicae

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1923

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tom 4

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nr 1

82-105

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions φ_n(x), (n=1,2,3,...) forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si ∫_a^b [φ_n(x)]^2 dx =1, ∫_a^b φ_m(x)·φ_n(x)dx =0, n ≠ m, si, de plus, les constantes réelles a_n sont telles que ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 (lg n)^2 converge, la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ_n(x) converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition W(n) = o[(lg n)^2], il existe toujours un système normé de fonctions φ_n(x), n=1,2,3,..., orthogonales dans (0,1), et une suite de constantes réelles a_n telles que la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ _n(x) diverge partout dans (0,1), quoique la série ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 W(n) converge.

2

Sur la dérivabilité terme à terme de séries des fonctions monotones

100%

Rajchman A.

Fundamenta Mathematicae

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1922

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tom 3

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nr 1

113-118

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une série convergente de fonction non décroissantes peut être presque partout différentiée terme à terme.

3

Une remarque sur les fonctions monotones

100%

Rajchman A.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

50-63

FR

L'objet de cette note est la démonstration du théorème suivant: La somme d'une série convergente des fonctions non décroissantes, telles que la dérivée de chacune d'elles s'annule presque partout, est une fonction non décroissante à dérivée nulle presque partout.

4

Sur les séries itérées des fonctions continues

86%

Kempisty S.

Fundamenta Mathematicae

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1921

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tom 2

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nr 1

64-73

FR

Le but de cette note est de démontrer (sans l'usage de nombres transfinis), qu'une fonction bornée ou non qui est limite de fonctions continues peut être représentée par une série absolument convergente des séries absolument convergentes de fonctions continues.

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4 Fundamenta Mathematicae

2 Rajchman A.

1 Kempisty S.

1 Menchoff D.

1 1923

1 1922

2 1921

Sur les séries de fonctions orthogonales

Sur la dérivabilité terme à terme de séries des fonctions monotones

Une remarque sur les fonctions monotones

Sur les séries itérées des fonctions continues