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Sur un problème de la théorie de la mesure. II

100%

Mirimanoff D.

Fundamenta Mathematicae

1923

tom 4

nr 1

118-121

Le but de cette note est de généraliser les résultats établis dans la note: "Sur un problème de la théorie de la mesure. I", publiée dans ce journal.

Sur une décomposition effective de fonctions en $א_2$ classes

88%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

1924

tom 5

nr 1

1-2

Le but de cette note est de décomposer effectivement l'ensemble de toutes les fonctions d'une variable réelle en א_2 classes non vides sans éléments communs deux à deux.

Sur un problème de la théorie de la mesure. I

75%

Mirimanoff D.

Fundamenta Mathematicae

1923

tom 4

nr 1

76-81

Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E_x des parallèles à Oy et par les points de E_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E_{λ} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E_{λ} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E_x, E_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E_{λ} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E_x, E_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E_x, E_y est un ensemble parfait de Cantor.

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1 1924

2 1923

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