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w słowach kluczowych:  miara Lebesgue'a
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1
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Sur une généralisation de la notion de la continuité approximative

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1923
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tom 4
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nr 1
124-127
FR
Définition: Nous dirons qu'une fonction f(x) (mesurable ou non) jouit de la propriété P en un point x_0 si, quel que soit le nombre positif ϵ, l'ensemble E(x_0,ϵ) des points x donnant lieu à l'inégalité |f(x)-f(x_0)| < ϵ a x_0 pour point de densité extérieure. Le but de cette note est de demontrer: Théorème: Toute fonction f(x) (mesurable ou non) jouit presque pratout de la propriété P.
2
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Démonstration nouvelle d'un théorème de M. Banach sur les fonctions dérivées des fonctions mesurables

100%
Auerbach H.
Fundamenta Mathematicae
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1925
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tom 7
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nr 1
263
FR
Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Les fonctions dérivées de Dini d'une fonction f(x) finie et mesurable (L) dans un intervalle (a,b) sont mesurable dans cet intégrale.
3
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Un lemme métrique

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1923
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tom 4
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nr 1
201-203
FR
Le but de cette note est de démontrer le lemme: Lemme: Soit E un ensemble linéaire borné et soit ℱ une famille d'intervalles, telle que tout point x de E est une extrémité gauche d'un au moins intervalle δ(x) de famille ℱ. Thèse: ϵ étant un nombre positif donné quelconque, il existe toujours un nombre fini N=N(ϵ) d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) de la famille ℱ, n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que la mesure extérieure (lebesguienne) de l'ensemble de ces points de E qui n'appartiennent à aucun d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) est < ϵ.
4
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Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1920
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tom 1
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nr 1
112-115
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Il existe un ensemble plan qui est de mesure nulle sur toute droite, mais qui n'est pas mesurable superficiellement.
5
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Sur les rapports entre l'existence des intégrales $∫_0^1f(x,y)dx$, $∫_0^1f(x,y)dy$ et $∫_0^1dx∫_0^1f(x,y)dy$

100%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1920
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tom 1
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nr 1
142-147
FR
Le but de cette note est de démontrer que la réponse au problème (posée par Stanisław Ruziewicz) suivant: L'existence (pour une function bornée f(x,y), définie dans le carré 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) des intégrales au sens de Lebesgue: ∫_0^1f(x,y)dx pour 0 ≤ y ≤ 1 ∫_0^1f(x,y)dy pour 0 ≤ x ≤ 1 entraîne-t-elle toujours l'existence de l'intégrale (au sens de Lebesgue) ∫_0^1 dx∫_0^1f(x,y)dy ? est négative, si l'on admet l'hypothèse du continu.
6
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Sugli insiemi non misurabili L

100%
Wilkosz W.
Fundamenta Mathematicae
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1920
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tom 1
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nr 1
82-92
IT
Il scopo di questo studio e di esporrare alcuni teoremi riguardanti degli insiemi non misurabili nel senso di Lebesgue, e di aprendere cosi la via per una trattazione generale.
7
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Sur le théorème de M. Vitali

100%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 5
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nr 1
130-136
FR
Théorème: Soit E un ensemble plan quelconque mais borné et contenu dans un ensemble ouvert et borné Ω. Supposons qu'à tout point P de E correspond une suite infinie {W_i(P)} (i=1,2,...) des ensembles fermés W_i(P) contenus dans Ω et remplissant les hypothèses suivantes: 1. W_i(P) est situe dans un cercle K_i(P) dont P est le centre, 2. lim_(i → ∞) |K_i(P)| = 0 (La notation |X| signifie la mesure lebesguienne de X, si X est mesurable (L)) 3. il existe un nombre positif α tel que l'inégalité |W_i(P)|/|K_i(P)| > α a lieu pour i naturel et pour tout P de E; alors il existe une suite finie ou infinie {P_n} des points appartenant à E et une suite des nombres naturelles {a_n}, telles que les ensembles W_{a_n}(P_n) aient les propriétés 1. que leur somme ∑_{n=1}^{∞}Z_n recouvre presque tout l'ensemble E; 2. Z_p Z_q = 0 pour p ≠ q.
8
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Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive

100%
Steinhaus H.
Fundamenta Mathematicae
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1920
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tom 1
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nr 1
93-104
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble linéaire de mesure positive contient deux points distincts a et b de distance rationnelle et de donner quelques généralisations faciles du théorème.
9
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Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 5
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nr 1
334-336
FR
Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.
10
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Sur un corps non dénombrable de nombres réels

88%
Souslin M., Kuratowski C.
Fundamenta Mathematicae
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1923
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tom 4
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nr 1
311-315
FR
Le but de cette note est de définir un corps non dénombrable de nombres réels n'en contenant pas la totalité.
11
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Sur la question de la mesurabilité de la base de M. Hamel

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1920
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tom 1
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nr 1
105-111
FR
Le but de cette note est de démontrer que la base de Hamel peut être mesurable au sens de Lebesgue.
12
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Sur les fonctions dérivées des fonctions mesurables

88%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
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1922
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tom 3
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nr 1
128-132
FR
Le but de cette note est de démontrer que les fonctions derivées de Dini d'une fonction f(x) mesurable (L) sont mesurable (L).
13
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Sur les fonctions d'ensemble additives et continues

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
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1922
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tom 3
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nr 1
240-246
FR
Soit E_0 un ensemble borné donné de points dans un espace à m dimensions, soit E un ensemble variable, contenu dans E_0 et mesurable (L). On appelle une fonction d'ensemble f(E) (dont la valeur f(E) est un nombre réel (fini) déterminé pour les sous - ensembles de E_0) additive (simplement) dans E_0, si sa valeur sur un ensemble somme de deux sous-ensembles mesurables de E_0 sans point commun est la somme de ses valeurs sur chacun de ces sous-ensembles. La fonction additive f(E) est dite continue dans E_0 si elle tend vers zéro avec le diamètre de E ∈ E_0 , elle est dite absolument continue, si elle tend vers zéro avec la mesure de E ∈ E_0. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une fonction additive et continue f(E) qui prend pour deux sous - ensembles E_1 et E_2 d'un ensemble borné E_0 des valeurs f(E_1) et f(E_2), prend, pour un sous-ensemble convenable (mesurable) de E_0 toute valeur intermédiaire entre f(E_1) et f(E_2).
14
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Démonstration élémentaire du théorème sur la densité des ensembles

88%
Sierpiński W.
Fundamenta Mathematicae
|
1923
|
tom 4
|
nr 1
167-171
FR
Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Presque tous les points d'un ensemble E quelconque situé dans l'espace à q dimensions, sont points de densité extérieure de E.
15
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Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure

88%
Steinhaus H.
Fundamenta Mathematicae
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1923
|
tom 4
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nr 1
286-310
FR
Le but de cette note est d'établir un système des postulats pour les probabilités dénombrables qui permettra une fois pour toutes de passer d'une interprétation à l'autre dans les recherches de ce genre.
16
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Sur le problème de la mesure

75%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
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1923
|
tom 4
|
nr 1
7-33
FR
Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).
17
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Une application de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x) + f(y) à la décomposition de la droite en ensembles superposables, non mesurables

75%
Ruziewicz S.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 5
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nr 1
92-95
FR
Le but de cette note est de prouver une propriété fort simple de la fonction f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle: f(x+y) = f(x) + f(y), propriété qui nous permettra de décomposer la droite en m ensembles superposables, partout denses, disjoints, non mesurables (L), m étant un nombre cardinal quelconque, satisfaisant aux inégalités: א_0 ≤ m ≤ 2^{א_0}.
18
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Rectification et addition à ma note "Sur l'unicité du développement trigonométrique"

75%
Rajchman A.
Fundamenta Mathematicae
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1923
|
tom 4
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nr 1
366-367
FR
Le but de cette notes est rectification et addition à la note "Sur l'unicité du développement trigonométrique" publiée dans Fundamenta Mathematica, vol. III, p.287.
19
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Sur une classe de fonctions d'ensemble

75%
Banach S.
Fundamenta Mathematicae
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1924
|
tom 6
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nr 1
170-188
FR
Dan ce mémoire l'auteur s'occupe des fonctions d'ensembles définies pour les ensembles formant un corps K_0. Le corps K_0 est le produit de toutes les classes K de sous-ensembes du carre aux sommets (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) (carre fondamental) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. Tout carre ferme, contenu dans le carre fondamental, appartient à K; 2. Si E_1 et E_2 appartient à K, et si E_1E_2=0, alors E_1+E_2 appartient à K; 3. Si E_1 et E_2 appartient à K et E_2 ⊂ E_1, alors E_1-E_2 appartient à K.
20
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Sur l'unicité du développement trigonométrique

75%
Rajchman A.
Fundamenta Mathematicae
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1922
|
tom 3
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nr 1
287-302
FR
Le but de cette note est de démontrer le suivant théorème: Si la série trigonométrique a_0/2 + ∑_{n=1}^{n = ∞}(a_n cos2πnx + b_n sin2πnx ), dont les coefficients a_n, b_n tendent vers zéro quand n → ∞, converge vers zéro partout, sauf peut-être aux points d'un ensemble fermé Z, ou, plus généralement, si partout, sauf peut-être aux points de Z, on a a_0/2 + lim_{r → 1} ∑_{n=1}^{n = ∞}(a_n cos2πnx + b_n sin2π nx )r^n =0, alors, pourvu que l'ensemble Z soit du type Hardy-Littlevood-Steinhaus, on aura a_0=0, a_n=b_n=0 (n=1,2,...).
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