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1

Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier

100%

Kolmogoroff A.

Fundamenta Mathematicae

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1925

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tom 7

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nr 1

24-29

FR

Théorème: Si f(θ) est une fonction sommable, si de plus f(ρ,θ)=1/(2π) ∫_(-π}^(+π) f(α) (1-ρ^2)/(1+ρ^2-2ρ cos(α-θ))dα, alors, z tendant vers e^(iθ) le long d'un chemin quelconque non tangent à la circonférence, la fonction harmonique g(z) conjuguée à f(z) tend pour presque toutes les valeurs de θ vers une limite déterminée g(θ)= - 1/(2π) ∫_(-π}^(+π) f(θ+α)/tg((α)/2)dα, l'integrale etant comprise comme lim_(ϵ → 0) ∫_(-π)^(+ϵ)∫_(-ϵ)^(+π). Le but de cette note est de démontrer que la fonction |g(θ)|^(1-ϵ) est sommable pour ϵ > 0. Comme une conséquence immédiate, l'auteur démontre un théorème sur la convergence en moyenne de la série de Fourier (on peut déduire de ce théorème que toutes les séries de Fourier-Lebesgue convergent en mesure).

2

Sur les fonctions continues à un nombre dérivé sommable

100%

Saks S.

Fundamenta Mathematicae

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1925

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tom 7

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nr 1

290-295

FR

Le but de cette note est de donner des conditions suffisantes et nécessaires pour qu'un fonction continue soit absolument continue, respectivement à variation bornée.

3

Sur une classe de fonctions d'ensemble

86%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 6

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nr 1

170-188

FR

Dan ce mémoire l'auteur s'occupe des fonctions d'ensembles définies pour les ensembles formant un corps K_0. Le corps K_0 est le produit de toutes les classes K de sous-ensembes du carre aux sommets (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) (carre fondamental) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. Tout carre ferme, contenu dans le carre fondamental, appartient à K; 2. Si E_1 et E_2 appartient à K, et si E_1E_2=0, alors E_1+E_2 appartient à K; 3. Si E_1 et E_2 appartient à K et E_2 ⊂ E_1, alors E_1-E_2 appartient à K.

4

Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est finie

72%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1925

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tom 7

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nr 1

225-236

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si C est un arc simple dans le plan, la condition nécessaire et suffisante pour que C soit rectifiable est que les fonctions N_x(s,C) et N_y(s,C) soient intégrale, ou N_x(s,C) désigne le nombre de points en lesquels la droite x=s coupe l'arc C. Théorème: La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction continue y=f(x) à variation bornée soit absolument continue est que tout ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'abscisses soit transformé par cette fonction en un ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'ordonnées.

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4 Fundamenta Mathematicae

2 Banach S.

1 Kolmogoroff A.

1 Saks S.

3 1925

1 1924

Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier

Sur les fonctions continues à un nombre dérivé sommable

Sur une classe de fonctions d'ensemble

Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est finie