Le but de cette note est de démontrer que la réponse au problème (posée par Stanisław Ruziewicz) suivant: L'existence (pour une function bornée f(x,y), définie dans le carré 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) des intégrales au sens de Lebesgue: ∫_0^1f(x,y)dx pour 0 ≤ y ≤ 1 ∫_0^1f(x,y)dy pour 0 ≤ x ≤ 1 entraîne-t-elle toujours l'existence de l'intégrale (au sens de Lebesgue) ∫_0^1 dx∫_0^1f(x,y)dy ? est négative, si l'on admet l'hypothèse du continu.
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Théorème: Quelle que soit une fonction f(x) à carré sommable qu'on suppose définie aux points de l'intervalle (0,1) et nulle ailleurs, l'intégrale q(x) = ∫_0^1 (f(x+α)-f(x-α))/α dα considérée comme lim_{ϵ=0}∫_{ϵ}^1, est finie presque partout dans (0,1) et représente une fonction de x à carré sommable. Le but de cette note est de trouver une limite supérieure pour l'intégrale ∫_0^1[q(x)]^2dx, et de donner une démonstration du théoreme cité, en se servant d'une méthode des variables réelles qui permet de voir quelles sont les propriétés des fonctions et des ensembles desquelles résulte le théorème en question.
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Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si C est un arc simple dans le plan, la condition nécessaire et suffisante pour que C soit rectifiable est que les fonctions N_x(s,C) et N_y(s,C) soient intégrale, ou N_x(s,C) désigne le nombre de points en lesquels la droite x=s coupe l'arc C. Théorème: La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction continue y=f(x) à variation bornée soit absolument continue est que tout ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'abscisses soit transformé par cette fonction en un ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'ordonnées.
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