Pełnotekstowe zasoby PLDML oraz innych baz dziedzinowych są już dostępne w nowej Bibliotece Nauki.
Zapraszamy na https://bibliotekanauki.pl

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 320

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

help

Sortuj według:

help

Ogranicz wyniki do:

1

Content available remote

Rachunek nieskończony

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

CZĘŚĆ TRZECIA: Funkcje elementarne ROZDZIAŁ XVI. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej. Funkcje trygonometryczne oraz ich odwrócenie § 133. Rozwinięcie funkcji $e^z$ na szereg potęgowy................ 1 § 134. Obliczanie liczby e; jej niewymierność................ 3 § 136. Funkcja $e^z$ dla zespolonych z................ 6 § 136. Funkcje cos z oraz sin z i ich własności................ 8 § 137. Liczba π. Okresowość funkcyj trygonometrycznych................ 11 § 138. Bieg funkcyj cos x i sin x dla rzeczywistych x................ 16 § 139. Wzór Vieta na liczbę π................. 17 § 140. Odwrócenie funkcyj trygonometrycznych................ 21 § 141. Forma trygonometryczna liczb zespolonych................ 27 § 142. Własnoaści charakterystyczne funkcyj trygonometrycznych................ 31 § 143. Wzory na pierwiastki naturalnego stopnia z liczb zespolonych................ 35 ROZDZIAŁ XVII. Logarytmy liczb zespolonych. Potęga ogólna. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej § 144. Logarytmy liczb zespolonych................ 40 § 146. Logarytm główny i jego własności................ 41 § 146. Potęga o wykładniku zespolonym................ 45 § 147. Potęga ogólna................ 48 § 148. Funkcje kołowe zmiennej zespolonej................ 51 § 149. Funkcja tg(z) oraz jej odwrócenie................ 57 § 150. Związek między funkcją arctg(z) a funkcją lg z................ 63 ROZDZIAŁ XVIII. Rozwinięcia funkcyj trygonometrycznych oraz hyperbolicznych na iloczyny nieskończone § 151. Wywód pewnej tożsamości dla sin π z................ 68 § 152. Rozwinięcie funkcji sin π z na iloczyn nieskończony. Wzór Wallisa na liczbę π................ 71 § 153. Rozwinięcie funkcji cos π z na iloczyn nieskończony................ 76 § 154. Wzory Eulera na liczbę $π^2$................ 78 § 155. Wzór Stirlinga................ 80 ROZDZIAŁ XIX. Rozwijanie funkcyj trygonometrycznych na ułamki proste § 156. Rozwinięcie funkcji ctg π z na ułamki proste................ 84 § 157. Rozwinięcie funkcji ctg π z na szereg potęgowy. Liczby Bernoulli'ego................ 88 § 158. Rozwinięcia funkcji tg z na szereg potęgowy oraz na ułamki proste................ 94 § 159. Rozwinięcie funkcyj sec z oraz cosec z na szeregi potęgowe oraz na ułamki proste................ 95 § 160. Wielomiany Bernoulli'ego; wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych................ 100 ROZDZIAŁ XX. Funkcja Γ Eulera oraz jej ważniejsze własności § 161. Definicja funkcji Γ(z) jako granicy pewnego iloczynu................ 104 § 162. Własność iloczynu Γ(z)Γ(1-z); wnioski................ 108 § 163. Twierdzenie Gaussa o mnożeniu funkcji Γ................ 110 CZĘŚĆ CZWARTA: Rachunek różniczkowy ROZDZIAŁ XXI. Pochodna oraz jej zasadnicze własności § 164. Definicja pochodnej. Warunek konieczny i wystarczający na to, iżby funkcja, ciągła w danym przedziale, posiadała dla danej wartości tego przedziału daną pochodną................ 113 § 165. Pochodne nieskończone. Pochodne funkcyj elementarnych. Ciągłość funkcji, posiadającej pochodną skończoną................ 116 § 166. Granice funkcji. Twierdzenie o granicach sumy, różnicy, iloczonu i ilorazu funkcyj................ 124 § 167. Pochodna sumy i różnicy................ 128 § 168. Pochodna iloczynu................ 131 § 169. Pochodna ilorazu................ 132 § 170. Pochodna funkcji................ 133 § 171. Pochodna funkcji odwrotnej................ 136 § 172. Przykłady i zastosowania................ 139 § 173. Funkcja ciągła, nie posiadająca pochodnej................ 141 § 174. Pochodne rzędów wyższych. Wzór Leibniza na n-tą pochodną iloczynu................ 147 ROZDZIAŁ XXII. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a oraz ich zastosowania § 175. Dowód twierdzenia Rolle'a................ 152 § 176. Twierdzenie Lagrange'a oraz jego ważniejsze wnioski................ 154 § 177. Twierdzenie Cauchy'ego................ 157 § 178. Twierdzenie Darboux................ 158 § 179. Rozwijanie na szereg potęgowy funkcyj, dla których rozwinięcia pochodnych są znane................ 162 § 180. Szereg potęgowy na lg(1+ x). Obliczanie logarytmów................ 163 § 181. Szereg potęgowy na arctg x. Obliczanie liczby π................ 165 § 182. Szeregi $Σ n^(-1)x^(n)cos(nϑ)$ oraz $Σ n^(-1)x^(n)sin(nϑ)$................ 168 § 183. Twierdzenie o rozwijalności funkcji ciągłej okresowej na jednostajnie zbieżny szereg skończonych wyrażeń trygonometrycznych................ 175 § 184. Pochodna szeregu funkcyj, dla którego szereg pochodnych jest zbieżny jednostajnie................ 177 § 184. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby pochodną szeregu był w danym punkcie szereg pochodnych................ 182 § 185. Przejście do funkcji pierwotnych dla szeregu jednostajnie zbieżnego. Istnienie funkcyj pierwotnych dla funkcyj ciągłych................ 184 § 186. Rozwinięcie wielomianów Bernoulli'ego przedziale (0, 1) na szeregi trygonometryczne................ 187 § 187. Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina................ 191 § 188. Zastosowanie wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina. Szeregi asymptotyczne................ 193 ROZDZIAŁ XXIII. Wzór Taylora i Maclaurina § 189. Wywód wzorów Taylora i Maclaurina. Forma reszty Schlömilcha, Lagrange'a i Cauchy'ego................ 199 § 190. Warunek konieczny i wystarczający dla rozwijalności funkcji na szereg Taylora w pewnym przedziale................ 205 § 191. Szereg dwumienny................ 207 § 192. Rozwinięcie funkcji arcsin(x) na szereg potęgowy................ 211 § 193. Wzór na lg(1+x) oraz jego zastosowanie do dowodu pewnego twierdzenia z teorji iloczynów nieskończonych................ 212 § 194. Pewne wnioski ze wzoru Taylora. druga pochodna uogólniona. Twierdzenie Schwarza................ 214 § 195. Maxima i minima funkcji; ich własności oraz wyznaczanie................ 217 ROZDZIAŁ XXIV. Ważniejsze wzory i twierdzenia z teorji przyrostów skończonych. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona § 196. Wzór ogólny na n-tą różnicę funkcji................ 223 § 197. Uogólnienie twierdzenia o przyrostach skończonych................ 227 § 198. Związek miedzy n-ta pochodną funkcji, a granicą wyrażenia $Δ^n f(x)/Δx^n$ dla Δx=0................ 229 § 199. Wielomian Lagrange'a................. 233 § 200. Uogólnienie twierdzenia Rolle'a................ 234 § 201. Wzór interpolacyjny Lagrange'a z resztą w formie Cauchy'ego................ 235 § 202. Wzór interpolacyjny Newtona................ 237 § 203. Wywód wzoru Taylora ze wzoru interpolacyjnego Newtona................ 238 ROZDZIAŁ XXV. Funkcje dwuch zmiennych rzeczywistych § 204. Funkcja dwuch zmiennych rzeczywistych................ 240 § 205. Pochodne cząstkowe; związek między ich istnieniem a ciągłością funkcji................ 242 § 206. Funkcje złożone; ich ciągłość i pochodna................ 244 § 207. Pochodna funkcji uwikłanej................ 248 § 208. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Zmiana porządku różniczkowania................ 252 § 209. Pochodne cząstkowe rzędów wyższych................ 258 § 210. Wzór Taylora dla funkcji dwuch zmiennych................ 260

2

Content available remote

Zasady algebry wyższej

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

SPIS RZECZY PRZEDMOWA........................................ V ROZDZIAŁ I. PERMUTACJE § 1. Permutacje elementów......................... 1 § 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2 § 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3 § 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5 ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI § 1. Wstęp historyczny............................. 7 § 2. Definicja wyznacznika...................... 8 § 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9 § 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11 § 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13 § 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14 § 7. Wnioski........................ 16 § 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19 § 9. Wyznacznik Vandermonde'a........................... 20 § 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25 § 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29 § 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30 § 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35 ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH § 1. Przekształcenia liniowe...................... 37 § 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39 § 3. Przykłady................. 40 § 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45 § 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47 § 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49 § 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51 § 9. Przykłady........................... 53 ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE § 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62 § 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64 ROZDZIAŁ V. MACIERZE § 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66 § 2. Własności iloczynu macierzy............... 69 § 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69 § 4. Macierz odwrotna...................... 70 § 5. Dzielenie macierzy..................... 74 § 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75 § 7. Krakowiany............. 76 § 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78 ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE § 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81 § 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82 § 3. Liczba i............... 84 § 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86 § 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89 § 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91 § 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93 § 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94 ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY § 1. Lemat Gaussa........... 98 § 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100 ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY § 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102 § 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105 § 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107 § 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109 § 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112 § 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115 § 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117 § 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118 § 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120 § 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122 § 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123 § 12. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona................ 130 § 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132 § 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133 § 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136 § 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137 § 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141 § 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144 § 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146 § 20. Przykłady........................... 147 § 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149 § 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151 § 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152 ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE § 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157 § 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157 § 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy'ego...... 159 § 4. Dowód Waringa............................. 161 § 5. Wzory Newtona............................. 163 § 6. Wyróżnik równania......................... 167 ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA § 1. Równania 2-go stopnia....................... 169 § 2. Równania dwukwadratowe...................... 174 § 3. Równania 3-go stopnia....................... 175 § 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180 § 5. Równania 3-go stopnia....................... 184 § 6. Równania 4-go stopnia....................... 187 § 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193 § 8. Sposób Ferrari'ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194 § 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196 ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA § 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199 § 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201 § 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203 § 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204 § 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208 ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE § 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210 § 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213 § 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214 § 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217 § 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217 § 6. Dowód Liouville'a istnienia liczb przestępnych.................. 221 ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE § 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224 § 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226 § 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227 § 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233 § 5. Przedstawianie pierwiastków równania z^n-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235 § 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239 ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI § 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241 § 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243 § 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistych niewymiernych............ 249 § 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251 § 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252 ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254 § 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256 § 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257 § 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259 § 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261 § 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262 § 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263 ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 1. Twierdzenie Sturma..................... 265 § 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270 § 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273 § 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276 § 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278 ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAŃ § 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280 § 2. Tabliczka działania................. 281 § 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282 § 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285 § 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286 § 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288 § 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290 § 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295 ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA § 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299 § 2. Iloczyn podstawień....................................... 300 § 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302 § 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304 ROZDZIAŁ XIX. GRUPY § 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306 § 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310 § 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311 § 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312 § 5. Produkt grup......................................... 314 § 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315 § 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319 § 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322 § 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325 § 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326 § 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328 § 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330 § 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334 § 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336 § 15. Grupy o 4 elementach........................... 337 § 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338 § 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340 § 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342 § 19. Grupa Galois równania................................ 346 ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH § 1. Definicja ciała..................... 348 § 2. Przykłady ciał...................... 349 § 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359 § 4. Podciała. Ciała proste.............. 360 § 5. Ciała skończone...................... 363 § 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365 ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKI CZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS § 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371 § 2. Grupa Galois........................... 374 § 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376 § 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380 § 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384 § 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385 § 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389 § 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391 § 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393 § 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395 CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH § 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398 § 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400 § 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403 § 14. Przykłady........................................ 405 § 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409 § 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411 § 17. Równania czyste.................................. 413 § 18. Równania cykliczne............................... 416 § 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420 § 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423 § 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427 SKOROWIDZ NAZW......................... 429 SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433 SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434 ERRATA..................... 435

3

Content available remote

Algébre des ensembles

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

FR

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. ALGEBRE DES PROPOSITIONS § 1. L'équivalence des propositions................ 1 § 2. L'implication................ 3 § 3. Produit logique et somme logique................ 7 § 4. Négation................ 11 § 5. Fonctions propositionnelles................ 24 § 6. Les quantificateurs................ 30 CHAPITRE II. ENSEMBLES, ÉLEMENTS, SOUS-ENSEMBLES § 7. Ensembles et leurs éléments................ 35 § 8, Egalité et inégalité des ensembles................ 37 § 9. Ensemble formé d'un seul élément................ 39 § 10. L'ensemble vide................ 43 § 11. Ensembles d'ensembles................ 45 § 12. Sous-ensembles................ 54 § 13. Le plus petit (le plus grand) ensemble à propriété donnée................ 59 CHAPITRE III. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES ENSEMBLES § 14. Somme, produit et différence de deux ensembles................ 62 § 15. Somme et produit d'un ensemble quelconque d'ensembles................ 65 § 16. Propriétés des opérations élémentaires sur les ensembles................ 67 § 17. Sommes disjointes................ 75 § 18. Complémentaires des ensembles et leurs propriétés................ 86 § 19. Parallélisme entre l'algèbre des propositions et l'algèbre des ensembles................ 88 § 20. L'expression (A-B)+(B-A)................ 98 § 21. Limites des suites d'ensembles................ 102 § 22. Produit cartésien de deux ensembles................ 108 CHAPITRE IV. FONCTIONS. IMAGES D'ENSEMBLES. RELATIONS § 23. Fonctions; correspondances................ 112 § 24. Propriétés des images................ 115 § 25. Produit cartésien de plusieurs ensembles................ 130 § 26. Relations définies dans un ensemble. Principe d'abstraction................ 133 § 27. Théorèmes de Banach et de Cantor-Bernstein................ 141 § 28. Correspondances multivoques................ 154 § 29. La Topologie comme chapitre de la Théorie générale des ensembles................ 155 § 30. Théoèrme de la diagonalé................ 159 CHAPITRE V. FAMILLES D'ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR CES FAMILLES § 31. Familles d'ensembles. Familles d'ensembles établissant un ordre................ 161 § 32. Anneaux et corps. Opérations s, d, et ρ................ 165 § 33. Familles Φσ et Φδ et leurs propriétés................ 169 § 34. Un théorème sur les anneaux d'ensembles................ 179 § 35. Théorèmes sur la séparabilité des d'ensembles................ 181 § 36. Opération (A) et ses propriétés................ 185 § 37. Forme abstraite du Théorème de Souslin................ 190 § 38. Le crible de Lusin................ 192 § 39. Les opérations de Hausdorff................ 193 INDEX TERMINOLOGIQUE................ 199 AUTEURS CITÉS................ 202

4

Content available remote

Działania nieskończone

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

CZĘŚĆ PIERWSZA: Liczby rzeczywiste i zespolone. ROZDZIAŁ I. Przekroje i liczby niewymierne § 1. Przekroje zbioru liczb wymiernych....................... 1 § 2. Luki. Liczby niewymierne; liczby rzeczywiste....................... 2 § 3. Pojęcie liczby mniejszej i większej....................... 3 § 4. Przechodniość znaku <....................... 4 § 5. Gęstość zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych....................... 7 § 6. Zamykanie liczby rzeczywistej między dwiema dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi....................... 8 § 7. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych....................... 9 § 8. Przekroje niewłaściwe....................... 12 ROZDZIAŁ II. Ciągi nieskończone i ich granice § 9. Ciągi nieskończone: przykłady....................... 13 § 10. Granica górna i dolna ciągu. Granica ciągu. Ciągi posiadające granicę i ciągi zbieżne....................... 15 § 11. Ciągi, których granice są nieskończone. Nieskończoność potencjalna i aktualna. Nieskończenie małe....................... 16 § 12. Wnioski z definicji granicy górnej i dolnej ciągu....................... 17 § 13. Ciągi monotoniczne....................... 22 § 14. Warunek konieczny i wystarczający na to żeby dana liczba rzeczywista była granicą danego ciągu nieskończonego. Wnioski....................... 23 § 15. Liczby rzeczywiste, jako granice ciągów liczb wymiernych. Rozwinięcia liczb rzeczywistych na ułamki nieskończone przy dowolnej zasadzie....................... 26 § 16. Nieprzeliczalność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych....................... 26 § 17. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 35 ROZDZIAŁ III. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych § 18. Suma liczb rzeczywistych....................... 37 § 19. Własności sumy: przemienność; łączność; moduł dodawania....................... 40 § 20. Dodawanie nierówności....................... 42 § 21. Odejmowanie; liczby różniące się znakiem....................... 44 § 22. Sprowadzenie odejmowania do dodawania w myśl wzoru a - b = a + (-b); wnioski....................... 46 § 23. Liczby dodatnie i ujemne. Wartość bezwzględna i jej własność....................... 49 § 24. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby dana skończona liczba rzeczywista była granicą danego ciągu nieskończonego....................... 52 § 25. Twierdzenia o granicy sumy i różnicy....................... 54 § 26. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 55 § 27. Ciągi ograniczone. Ograniczoność ciągu zbieżnego....................... 57 § 28. Granica górna i dolna jako granice ciągów wyjętych....................... 58 § 29. Iloczyn liczb rzeczywistych....................... 61 § 30. Własności iloczynu; przemienność; łączność; rozdzielność; moduł mnożenia; mnożenie przez 0....................... 64 § 31. Mnożenie nierówności....................... 67 § 32. Twierdzenie o granicy iloczynu....................... 71 § 33. Iloraz liczb rzeczywistych; ułamki i ich własności....................... 72 § 34. Własności odwrotności....................... 75 § 35. Twierdzenie o granicy ilorazu ....................... 78 ROZDZIAŁ IV. Potęgowanie liczb rzeczywistych § 36. Potęga naturalna....................... 81 § 37. Ciąg potęgowy....................... 82 § 38. Pierwiastki arytmetyczne....................... 85 § 39. Obliczanie pierwiastków arytmetycznych....................... 88 § 40. Nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej....................... 93 § 40a. Twierdzenie Hardy-Landau'a....................... 93 § 41. Pojęcie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; jej ciągłość....................... 101 § 42. Funkcje ciągłe, spełniające warunek f(1)=a oraz f(x+y)=f(x)f(y)....................... 104 § 43. Własności potęgi wymiernej....................... 108 § 44. Potęga o wykładniku rzeczywistym....................... 117 § 45. Własności potęgi o wykładniku rzeczywistym....................... 120 § 46. Nierówności dla $(1+d)^x$....................... 125 § 47. Funkcja $e^x$....................... 133 ROZDZIAŁ V. Logarytmy § 48. Dowód istnienia logarytmów liczb dodatnich....................... 140 § 49. Ogólne własności logarytmów. Zmiana zasady logarytmów....................... 142 § 50, Logarytmy naturalne; ciągłość funkcji lg x; wnioski....................... 146 § 51. Wzór asymptotyczny na sumę 1/1 + 1/2 + ... + 1/n; stała Eulera; wzór na lg2....................... 150 § 52. Interpolacja logarytmów....................... 153 ROZDZIAŁ VI. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej rzeczywistej § 53. Kres górny i dolny zbioru i jego własności....................... 156 § 54. Ciągłość funkcji w danym przedziale; definicje Cauchy'ego i Heine'go; sprawa ich równoważności....................... 158 § 55. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła przechodzi od jednej wartości do drugiej, przechodząc przez wszystkie wartości pośrednie. Przykład funkcji wszędzie nieciągłej o powyższej własności....................... 164 § 56. Kresy funkcji w danym zbiorze. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła w danym przedziale dosięga swych kresów....................... 168 § 57. Suma, iloczyn, różnica i iloraz funkcji ciągłych w danym przedziale....................... 172 § 58. Dowód twierdzenia o istnieniu pierwiastków rzeczywistych równań algebraicznych stopnia nieparzystego....................... 173 ROZDZIAŁ VII. Teoria liczb zespolonych § 59. Liczby zespolone, jako najprostsze rozszerzenie pojęcia liczb rzeczywistych....................... 175 § 60. Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych....................... 178 § 61. Moduł liczby zespolonej i jego własności....................... 183 § 62. Dwumian Newtona....................... 187 § 63. Pierwiastki drugiego stopnia z liczb zespolonych....................... 189 § 64. Dowód istnienia pierwiastków stopnia m-go z liczb zespolonych....................... 192 § 65. Dowód zasadniczego twierdzenia algebry....................... 197 § 66. Rozkład wielomianu na czynniki linowe. Liczba pierwiastków m-go stopnia z każdej różnej od zera liczby zespolonej....................... 206 ⎧ § 67. Dowód twierdzenia, że pierwiastki równania algebraicznego są funkcjami ciągłymi jego współczynników....................... 211 § 68. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste....................... 218 § 69. Ciągi nieskończone o wyrazach zespolonych....................... 221 CZĘŚĆ DRUGA: Działania nieskończone ROZDZIAŁ VIII. Szeregi nieskończone o składnikach stałych § 70. Zbieżność szeregu nieskończonego; jego suma....................... 1 § 71. Szeregi o składnikach zespolonych....................... 4 § 72. Łączność sumy nieskończonej liczby składników....................... 5 § 73. Wpływ porządku składników szeregu nieskończonego na wartość sumy. Szeregi zbieżne bezwarunkowo i szeregi zbieżne bezwzględnie....................... 9 § 74. Dowód nierównoważności zbieżności bezwarunkowej i zbieżności bezwzględnej szeregu....................... 14 § 75. Szeregi zbieżne warunkowo; twierdzenie Riemanna....................... 18 § 76. Cechy zbieżności i rozbieżności szeregów; kryterium d'Alembert'a....................... 26 § 77. Kryterium Cauchy'ego....................... 31 § 78. Cecha Kummera. Prawidło Raabe'go; Szeregi ζ(s)....................... 36 § 79. Twierdzenie Dini'ego; kryteria logarytmiczne....................... 40 § 80. Twierdzenie Abel'a. Szeregi naprzemienne....................... 43 § 81. Dodawanie szeregów....................... 46 § 82. Przekształcanie szeregów wolno zbieżnych: wzór Eulera. Zastosowania....................... 48 § 82a. Inne metody przekształcania szeregów....................... 56 § 83. Metoda Kummera. Metoda Markowa....................... 58 ROZDZIAŁ IX. Mnożenie szeregów. Szeregi podwójne § 84. Twierdzenie Cesàro. Twierdzenie Abela....................... 63 § 85. Twierdzenie Cauchy'ego....................... 68 § 86. Mnożenie szeregów zbieżnych bezwzględnie. Mnożenie Dirichlet'a....................... 73 § 87. Szeregi iterowane; ich zbieżność i suma. Wpływ porządku sumowania na wartość sumy....................... 76 § 88. Szeregi iterowane bezwzględnie zbieżne; przekształcanie ich na szeregi zwykłe. Zastosowania....................... 80 § 88a. Warunek przemienności sumowania........................ 90 § 89. Ciągi podwójne; ich zbieżność i granice ....................... 91 § 90. Szeregi podwójne; ich zbieżność i suma. Szeregi podwójne bezwzględnie zbieżne........................ 96 ROZDZIAŁ X. Teoria iloczynów nieskończonych § 91. Iloczyny nieskończone; ich zbieżność i wartość. Przykłady....................... 102 § 92. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności iloczynu nieskończonego....................... 108 § 93. Iloczyny o czynnikach stale mniejszych lub stale większych od jedności....................... 111 § 94. Twierdzenie o zbieżności iloczynu ∏ (1+u_n) w razie zbieżności szeregów $∑u_n$ oraz $∑(u_n)^2$....................... 116 § 95. Sprowadzenie badania iloczynów do badania szeregów za pomocą logarytmowania. Iloczyny warunkowo zbieżne....................... 119 § 96. Iloczyny zbieżne bezwarunkowo i iloczyny zbieżne bezwzględnie....................... 122 § 97. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na szeregi i na odwrót....................... 126 ROZDZIAŁ XI. Ułamki łańcuchowe § 98. Wzór na redukty ułamka łańcuchowego....................... 131 § 99. Wzór na różnicę kolejnych reduktów. Przekształcanie ułamków łańcuchowych (skończonych) na szeregi i na odwrót....................... 136 § 100. Ułamki łańcuchowe nieskończone; ich zbieżność i wartość....................... 141 § 101. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne; rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe....................... 147 § 102. Rozwinięcia funkcji e^x oraz tg x na ułamki nieskończone....................... 153 § 103. Niewymierność wymiernych potęg liczby e. Niewymierność liczby π....................... 158 § 104. Rozwinięcie liczby e na ułamek nieskończony arytmetyczny....................... 164 ROZDZIAŁ XII. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej zespolonej § 105. Punkt skupienia. Zbiory zamknięte....................... 167 § 106. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Dowód pewnika Zermelo dla zbiorów zamkniętych....................... 171 § 107. Ciągłość funkcji w pewnym zbiorze, zwyczajna i jednostajna. Twierdzenie o ciągłości jednostajnej funkcji ciągłej w zbiorze zamkniętym i ograniczonym....................... 174 § 108. Ograniczoność i zamkniętość zbioru wartości funkcji ciągłej w zbiorze ograniczonym i zamkniętym....................... 181 § 109. Funkcja funkcji....................... 183 § 110. Funkcje odwrotne ....................... 186 ROZDZIAŁ XIII. Ciągi i szeregi funkcyj § 111. Ciągi nieskończone funkcyj; zbieżność jednostajna ciągu funkcyj....................... 190 § 112. Ciągłość granicy ciągu jednostajnie zbieżnego funkcyj zbieżnych. Granica ciągu niejednostajnie zbieżnego funkcyj ciągłych....................... 193 § 113. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby granica ciągu funkcyj ciągłych dla danego punktu była dla tego punktu ciągłą ....................... 197 § 114. Ciągi zbieżne quasi-jednostajnie. Twierdzenie Arzelà....................... 198 § 115. Szeregi nieskończone funkcyj; ich zbieżność jednostajna i quasijednostajna. Twierdzenia o szeregach funkcyj ciągłych jednego znaku....................... 202 § 116. Stosunek zbieżności jednostajnej do zbieżności bezwzględnej szeregu. Wpływ porządku składników na jednostajność zbieżności szeregu zbieżnego bezwzględnie....................... 203 § 117. Granica sumy szeregu jednostajnie zbieżnego....................... 297 ROZDZIAŁ XIV. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi wielomianów § 118. Rozwijanie funkcyj wymiernych na szereg wielomianów....................... 210 § 119. Twierdzenie Weierstrassa o rozwijalności funkcyj ciągłej na szereg wielomianów. Ogólny wzór interpolacyjny Borela....................... 215 § 120. Wzór interpolacyjny S. Bernsteina....................... 221 § 121. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi normalne....................... 225 § 122. Wnioski z twierdzenia Weierstrassa....................... 228 § 123. Wielomiany dające najlepsze przybliżenie funkcji ciągłej w danym przedziale....................... 232 ROZDZIAŁ XV. Szeregi potęgowe § 124. Promień i koło zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamard'a....................... 244 § 125. Ciągłość sumy szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności....................... 249 § 126. Zachowanie się szeregu potęgowego na obwodzie koła zbieżności....................... 250 § 126a. Szereg potęgowy, zbieżny na swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie....................... 256 § 127. Twierdzenie Abela....................... 259 § 128. Skończoność liczby pierwiastków szeregu potęgowego w otoczeniu punktu z=0. Wnioski....................... 262 § 129. Pochodna szeregu potęgowego. Zbieżność szeregu potęgowego. Wzór Maclaurina....................... 263 § 130. Szeregi według potęg z—a. Pojęcie o przedłużeniu analitycznym oraz o funkcji analitycznej....................... 268 § 131. Nierówność dla współczynników szeregu potęgowego, którego suma jest ograniczona na danym kole. Wnioski...... 270 § 132. Twierdzenie Weierstrassa o szeregu szeregów potęgowych.. 275

5

Content available remote

Teoria liczb

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

PL

SPIS RZECZY PRZEDMOWA............. III ERRATA.................... VI ROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE § 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1 § 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2 § 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2 § 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3 § 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4 § 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4 § 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5 § 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8 § 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14 ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA § 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27 § 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29 § 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29 § 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33 § 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35 § 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37 § 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39 ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM § 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41 § 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46 § 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49 § 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50 § 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51 ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW § 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre'a.............. 53 § 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre'a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby $D^{(p-1)/2}$ według modułu p........63 § 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68 § 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71 § 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76 § 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79 § 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80 § 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83 § 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90 § 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange'a..............93 § 11. Twierdzenie Waringa............................... 102 ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE § 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112 § 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113 § 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116 § 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123 § 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125 § 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126 § 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132 § 8. Tożsamość Hermite'a dla funkcji E(x)....................... 134 ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$ I JEJ ODWRÓCENIE § 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136 § 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych $p_1,p_2,...,p_m$............. 138 § 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140 § 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143 § 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148 § 6. Odwrócenie wzoru $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$............................... 150 § 7. Funkcja Liouville'a.................................. 154 OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH § 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156 § 2. Dowód wzoru $lim_{x=∞} π(x)/x=0$.............................. 160 § 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161 ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE'A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI § 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168 § 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172 § 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175 § 4. Twierdzenie Lagrange'a i wnioski z niego.............................. 177 § 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183 § 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów $p^α$ i $2p^α$........................ 187 § 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191 § 8. Moduł $2^α$ dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193 § 9. Własności wskaźników................................. 196 § 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre'a.............. 198 § 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201 ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI § 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205 § 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210 § 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213 § 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214 § 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216 § 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217 § 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219 § 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224 § 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226 ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA § 1. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ w liczbach całkowitych.............229 § 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233 § 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237 § 4. Równanie Fermata............. 242 ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA § 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251 § 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254 § 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259 ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE § 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262 § 2. Liczby Δk. Wzór $Δk = (-1)^k$................... 266 § 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267 § 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269 § 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270 § 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272 § 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274 § 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278 § 9. Twierdzenie Lagrange'a o ułamkach łańcuchowych........................... 290 § 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297 § 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298 ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA § 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305 § 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308 § 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310 § 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312 § 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314 ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE'A I SYMBOLU JACOBIEGO § 1. Lemat Gaussa...............323 § 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325 § 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326 § 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre'a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331 § 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335 § 6. Prawidło Eisensteina................................ 341 § 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346 ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH § 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351 § 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353 § 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357 § 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359 § 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363 § 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367 § 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370 § 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372 ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH § 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379 § 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383 § 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388 § 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389 § 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394 § 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396 § 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401 ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH § 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416 § 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417 § 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419 § 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421 § 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430 § 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431 § 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431 § 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435 § 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438 ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW § 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443 § 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446 § 3. Iloczyn ideałów..................................... 449 § 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450 § 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454 § 6. Ideały pierwsze.................................... 458 § 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459 § 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461 ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7 § 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463 § 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464 § 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478 ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489 PRZYPISY............................... 525 SKOROWIDZ NAZW.................. 532 SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535 SKOROWIDZ NAZWISK................ 536

6

Content available remote

Elementary theory of numbers

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

EN

CONTENTS Preface................................ 5 CHAPTER I. DIVISIBILITY AND INDETERMINATE EQUATIONS OF FIRST DEGREE § 1. Divisibility..................... 7 § 2. Least common multiple..................... 10 § 3. Greatest common divisor..................... 11 § 4. Relatively prime numbers..................... 11 § 5. Relation between the greatest common divisor and the least common multiple..................... 14 § 6. Fundamental theorem of arithmetic..................... 14 § 7. Proof of the formulae $(a_1, a_2,…, a_(n+1)) = ((a_1, a_2,…, a_n),a_(n+1))$ and $[a_1, a_2,…, a_(n+1)] = [[a_1, a_2,…,a_n],a_(n+1)]$..................... 18 § 8. Rules for calculating the greatest common divisor of two numbers..................... 19 § 9. Representation of rationals as simple continued fractions..................... 23 § 10. Linear form of the greatest common divisor..................... 24 § 11. Indeterminate equations of m variables and degree 1..................... 27 § 12. Chinese Remainder Theorem..................... 31 § 13. Thue Theorem..................... 33 § 14. Square-free numbers..................... 33 CHAPTER II. DIOPHANTINE ANALYSIS OF SECOND AND HIGHER DEGREES § 1. Diophantine equations of arbitrary degree and one unknown..................... 35 § 2. Problems concerning Diophantine equations of two or more unknowns..................... 36 § 3. The equation $x^2 + y^2 = z^2$..................... 38 § 4. Integral solutions of the equation $x^2 + y^2 = z^2$ for each x-y = ± 1..................... 44 § 5. Pythagorean triangles of the same area..................... 48 § 6. On squares whose sum and difference are squares..................... 52 § 7. The equation $x^4 + y^4 = z^2$..................... 58 § 8. On three squares for which the sum of any two is a square..................... 61 § 9. Congruent numbers..................... 63 § 10. The equation $x^2 + y^2 + z^2 = t^2$..................... 67 § 11. The equation xy = zt..................... 70 § 12. The equation $x^4 - x^2y^2 + y^4 = z^2$..................... 73 § 13. The equation $x^4+9x^2y^2 + 27y^4 = z^2..................... 75 § 14. The equation $x^3 + y^3 = 2z^3$..................... 78 § 15. The equation $x^3 + y^3 = az^3$ with a>2..................... 82 § 16. Triangular numbers..................... 84 § 17. The equation $x^2 - Dy^2 = 1$..................... 88 § 18. The equations $x^2 + k = y^3$ where k is an integer..................... 99 § 19. On some exponential equations and others..................... 106 CHAPTER III. PRIME NUMBERS § 1. The primes. Factorization of a natural number m into primes..................... 110 § 2. The Eratosthenes sieve. Tables of prime numbers..................... 114 § 3. The differences between consecutive prime numbers..................... 115 § 4. Goldbach's conjecture..................... 118 § 5. Arithmetical progressions whose terms are prime numbers..................... 121 § 6. Primes in a given arithmetical progression..................... 123 § 7. Trinomial of Euler $x^2 + x + 41$..................... 125 § 8. The conjecture H..................... 127 § 9. The function π(x)..................... 130 § 10. Proof of Bertrand's postulate (Theorem of Tchebycheff)..................... 131 § 11. Theorem of H. F. Scherk..................... 140 § 12. Theorem of H. E. Eichert..................... 143 § 13. A conjecture on prime numbers..................... 145 § 14. Inequalities for the function π(x)..................... 147 § 15. The prime number theorem and its consequences..................... 152 CHAPTER IV. NUMBER OF DIVISORS AND THEIR SUM § 1. Number of divisors..................... 156 § 2. Sums d(1) + d(2) + … + d(n)..................... 159 § 3. Numbers d(n) as coefficients of expansions..................... 163 § 4. Sum of divisors..................... 164 § 5. Perfect numbers..................... 171 § 6. Amicable numbers..................... 175 § 7. The sum σ(1) + σ(2) + … + σ(n)..................... 176 § 8. The numbers σ(n) as coefficients of various expansions..................... 178 § 9. Sums of summands depending on the natural divisors of a natural number n..................... 179 § 10. Möbius function..................... 180 § 11. Liouville function λ(n)..................... 184 CHAPTER V. CONGRUENCES § 1. Congruences and their simplest properties..................... 186 § 2. Roots of congruences. Complete set of residues..................... 191 § 3. Roots of polynomials and roots of congruences..................... 194 § 4. Congruences of the first degree..................... 196 § 5. Wilson's theorem and the simple theorem of Fermat..................... 198 § 6. Numeri idonei..................... 214 § 7. Pseudoprime and absolutely pseudoprime numbers..................... 214 § 8. Lagrange's theorem..................... 220 § 9. Congruences of the second degree..................... 223 CHAPTER VI. EULER'S TOTIENT FUNCTION AND THE THEOREM OF EULER § 1. Euler's totient function..................... 228 § 2. Properties of Euler's totient function..................... 239 § 3. The theorem of Euler..................... 241 § 4. Numbers which belong to a given exponent with respect to a given modulu..................... 245 § 5. Proof of the existence of infinitely many primes in the arithmetical progression nk+1..................... 248 § 6. Proof of the existence of the primitive root of a prime number..................... 252 § 7. An nth power residue for a prime modulus p..................... 256 § 8. Indices, their properties and applications..................... 259 CHAPTER VII. REPRESENTATION OF NUMBERS BY DECIMALS IN A GIVEN SCALE § 1. Representation of natural numbers by decimals in a given scale..................... 264 § 2. Representations of numbers by decimals in negative scales..................... 269 § 3. Infinite fractions in a given scale..................... 270 § 4. Representations of rational numbers by decimals..................... 273 § 5. Normal numbers and absolutely normal numbers..................... 277 § 6. Decimals in the varying scale..................... 278 CHAPTER VIII. CONTINUED FRACTIONS § 1. Continued fractions and their convergents..................... 282 § 2. Representation of irrational numbers by continued fractions..................... 284 § 3. Law of best approximation..................... 289 § 4. Continued fractions of quadratic irrationals..................... 290 § 5. Application of the continued fraction for √D in solving equations $x^2-Dy^2$ and $x^2-Dy^2=-1$..................... 305 § 6. Continued fractions other than simple continued fractions..................... 310 CHAPTER IX. LEGENDRE'S SYMBOL AND JACOBI'S SYMBOL § 1. Legendre's symbol (D/p) and its properties..................... 315 § 2. The quadratic reciprocity law..................... 321 § 3. Calculation of Legendre's symbol by its properties..................... 325 § 4. Jacobi's symbol and its properties..................... 326 § 5. Eisentein's rule..................... 329 CHAPTER X. MERSENNE NUMBERS AND FERMAT NUMBERS § 1. Some properties of Mersenne numbers..................... 334 § 2. Theorem of E. Lucas and D. H. Lehmer..................... 336 § 3. How the greatest of the known prime numbers have been found..................... 340 § 4. Prime divisors of Fermat numbers..................... 342 § 5. A necessary and sufficient condition for a Fermat number to be a prime..................... 347 § 6. How the fact that number $2^(2^{1945}) + 1$ is divisible by $5*2^{1947}+1$ was discovered..................... 349 CHAPTER XI. REPRESENTATIONS OF NATURAL NUMBERS AS SUMS OF NON-NEGATIVE kth POWERS § 1. Sums of two squares..................... 351 § 2. The average number of representations as sums of two squares..................... 354 § 3. Sums of two squares of natural numbers..................... 360 § 4. Sums of three squares..................... 363 § 5. Representation by four squares..................... 368 § 6. The sums of the squares of four natural numbers..................... 373 § 7. Sums of m ≥ 5 positive squares..................... 378 § 8. The difference of two squares..................... 380 § 9. Sums of two cubes..................... 382 § 10. The equation $x^3 + y^3 = z^3$..................... 384 § 11. Sums of three cubes..................... 388 § 12. Sums of four cubes..................... 391 § 13. Equal sums of different cubes..................... 393 § 14. Sums of biquadrates..................... 394 § 15. Waring's theorem..................... 395 CHAPTER XII. SOME PROBLEMS OF THE ADDITIVE THEORY OF NUMBERS § 1. Partitio numerorum..................... 400 § 2. Representations as sums of n non-negative summands..................... 402 § 3. Magic squares..................... 403 § 4. Schur's theorem and its corollaries..................... 407 § 5. Odd numbers which are not of the form $2^k+p$, where p is a prime..................... 412 CHAPTER XIII. COMPLEX INTEGERS § 1. Complex integers and their norm. Associated integer..................... 416 § 2. Euclidean algorithm and the greatest common divisor of complex integers..................... 420 § 3. The least common multiply of complex integers..................... 424 § 4. Complex primes..................... 425 § 5. The factorization of complex integers into complex prime factors..................... 429 § 6. The number of complex integers with a given norm..................... 431 § 7. Jacobi's four-square theorem Bibliography Author index Subject index..................... 435 Bibliography..................... 488 Author index..................... 469 Subject index..................... 474

7

Content available remote

Hypothèse du continu

100%

Sierpiński W.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

FR

PRÉFACE................. III INTRODUCTION. L'hypothese du continu et le probleme du continu................... 1 NOTATIONS........................... 8 CHAPITRE I. Propositions équivalentes a l'hypothese du continu............... 9 CHAPITRE II. L'ensemble de M. Lusin § 1. Proposition C1....................... 36 § 2. Propriétés L et C....................................... 37 § 3. Fonctions définies sur les ensembles a propriété L.................. 38 § 4. Propriété M................... 48 § 5. Conséquences C2-C9 de la proposition C1................................. 49 § 6. Équivalences entre les conséquences C9, C10, C11 et C12................ 53 § 7. Origines et applications des propositions C9-C12....................... 59 § 8. Proposition 1* et son équivalence avec C1....................... 61 § 9. Conséquences C13 et C14 de C1....................... 62 § 10. Ensembles toujours de I-re catégorie....................... 63 § 11. Proposition C15 et ses conséquences C16-C19....................... 68 § 12. Images géométriques des fonctions. Fonctions superposées. Proposition C20 et ses conséquences C21-C24....................... 71 CHAPITRE III. Applications aux relations entre catégorie et mesure § 1. Proposition C25 (C25α) sur la dualité entre premiere catégorie et mesure nulle. Conséquence C26 (C26α)....................... 77 § 2. Propriété S. Dualité entre L et S. Conséquences C27-C40....................... 81 § 3. Propriété λ. Conséquences C41-C46....................... 94 § 4. Conséquence C47 sur les types de dimensions de M. Fréchet....................... 99 CHAPITRE IV. Autres conséquences de l'hypothese du continu § 1. Décompositions du plan. Conséquences C48 et C49 de P1....................... 100 § 2. Conséquences C50-C52 de P4 (P4 a)....................... 104 § 3. Mesure et catégorie. Conséquences C53-C57 de C52....................... 107 § 4. Ensembles croissants. Conséquences C60-C61 de l'hypothese H....................... 115 § 5. Ensembles presque disjoints. Conséquences C65-C70 (C70a) de H....................... 123 § 6. Images par fonctions de Baire. Conséquences C71-C74 de l'hypothese H....................... 135 § 7. Ensemble ordonné universel. Conséquences C75 et C76 de H....................... 144 § 8. Complémentaires d'ensembles analytiques. Conséquences C77 et C78 de l'hypothese H....................... 146 § 9. Propriétés J et JC. Conséquence C79 de l'hypothese H....................... 149 § 10. Types de dimensions de M. Fréchet. Conséquence C80 de H....................... 151 CHAPITRE V. Hypothese des alephs inaccessibles....................... 152 CHAPITRE VI. Hypothese du continu et les exemples effectifs.......... 162 CHAPITRE VII. Hypothese du continu généralisée........................ 166 SUPPLTABLES DES RELATIONS.................................................. 172 INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................ 178 AUTEURS CITÉS.................................................................................. 181

8

Content available remote

O związku między istnieniem granicy $lim_{Δx=0} {\frac{Δ²f(x)}{Δx²}}$ a ciągłością funkcyi f(x)

89%

Sierpiński W.

Prace Matematyczno-Fizyczne

|

1915

|

tom 26

|

nr 1

121-129

9

Content available remote

Une définition topologique des ensembles

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 6

|

nr 1

106-110

FR

Le but de cette note est de de démontrer Théorème: Pour qu'un ensemble E, situe dans un espace à m dimensions, soit G_(δ), il faut et il suffit qu'il existe une famille dénombrable ℱ de sous-ensembles de E, ouverts dans E et tels que • tout point p de E est un produit d'une suite descendente et convergente vers p d'ensembles de la famille ℱ • tout suite descendente d'ensembles distincts de la famille ℱ converge vers un point de E.

10

Content available remote

Sur les ensembles connexes et non connexes

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1921

|

tom 2

|

nr 1

81-95

FR

Définition: On dit que'un ensemble de points P est dispersé, s'il ne contient aucun ensemble connexe contenant plus qu'un point. Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants: Problème 1: Deux points d'un ensemble dispersé, sont-ils nécessairement séparés dans cet ensemble? Problème 2: P étant un ensemble dont tout deux points sont séparés dans P, a étant un point donné de P et ϵ un nombre positif donné, peut-on toujours décomposer P en deux ensembles séparés A et B de sorte que A contienne a et que le diamètre de A soit < ϵ ? Problème 3: Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble punctiforme (situé dans l'espace à m dimensions) soit homéomorphe avec un ensemble linéaire? et Problème 4: Un complémentaire d'un ensemble punctiforme situé dans l'espace à m>1 dimensions est-il toujours connexe?

11

Content available remote

Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 5

|

nr 1

334-336

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.

12

Content available remote

Sur une propriété des ensembles (A)

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1926

|

tom 8

|

nr 1

362-369

FR

L'auteur a démontre avec monsieur Lusin en 1923 que tout ensemble (A) est une somme de א_1 ensembles mesurables B. Le but de cette note est de donner une démonstration plus simple et directe de cette propriété et d'en donner une généralisation.

13

Content available remote

Sur la question de la mesurabilité de la base de M. Hamel

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

105-111

FR

Le but de cette note est de démontrer que la base de Hamel peut être mesurable au sens de Lebesgue.

14

Content available remote

Démonstration d'un théorème de M. Baire sur les fonctions représentables analytiquement

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

159-165

FR

Le but de cette note est de démontrer sans l'aide des nombres transfinis et sans utiliser la théorie des ensembles mesurables B (ensembles de Borel) le suivant théorème de Baire: Toute fonction représentable analytiquement est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, quand on néglige les ensembles de I -e catégorie par rapport à cet ensemble.

15

Content available remote

Sur l'ensemble de distances entre les points d'un ensemble

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1925

|

tom 7

|

nr 1

144-148

FR

Le but de cette note est de de prover que si E (ensemble donné de points situé dans l'espace à m dimension) est un ensemble mesurable (B), D(E) (ensemble de toutes les distances entre deux points quelconques de l'ensemble E) est mesurable (L), amis pas nécessairement mesurable (B).

16

Content available remote

Sur une condition pour qu'un continu soit une courbe jordanienne

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

44-60

FR

Le but de cette note est de démontrer le theoreme suivant: Pour qu'en continu C (situé dans un espace euclidien à m dimensions) soit une courbe jordanienne, il faut et il suffit que, pour tout ϵ > 0, il soit une somme d'un nombre fini de continus de diamètre < ϵ.

17

Content available remote

Sur l'ensemble des points de convergence d'une suite de fonctions continues

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1921

|

tom 2

|

nr 1

41-49

FR

L'object de cette note est la démonstration du théorème suivant: Pour tout ensemble F_{σδ} linéaire donné E il existe une siute infinie des fonctions continues d'une variable réelle x, F_n(x) (n=1,2,3,...), qui converge vers 0 pour les nombres x de E et diverge pour tous les autres x réels.

18

Content available remote

Sur une propriété des ensembles

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1924

|

tom 6

|

nr 1

21-23

FR

Le but de cette note est de démontrer le suivant: Pour qu'un ensemble de points (d'un espace euclidien à m dimensions) soit un F_{σδ}, il faut et il suffit qu'il soit la plus grande limite d'une suite d'ensembles fermés.

19

Content available remote

Sur une généralisation de la notion de la continuité approximative

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1923

|

tom 4

|

nr 1

124-127

FR

Définition: Nous dirons qu'une fonction f(x) (mesurable ou non) jouit de la propriété P en un point x_0 si, quel que soit le nombre positif ϵ, l'ensemble E(x_0,ϵ) des points x donnant lieu à l'inégalité |f(x)-f(x_0)| < ϵ a x_0 pour point de densité extérieure. Le but de cette note est de demontrer: Théorème: Toute fonction f(x) (mesurable ou non) jouit presque pratout de la propriété P.

20

Content available remote

Une démonstration du théorème sur la structure des ensembles de points

89%

Sierpiński W.

Fundamenta Mathematicae

|

1920

|

tom 1

|

nr 1

1-6

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble de points P (situé dans l'espace euclidien à m dimensions) se décompose en une somme de deux ensembles P=C+D dont l'ensemble C (s'il n'est pas vide) est clairsemé et effectivement énumérable, et l'ensemble D (s'il n'est pas vide) est dense en soi.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.