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Mechanika I

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Banach S.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

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SPIS RZECZY CZĘŚĆ PIERWSZA PRZEDMOWA............. III ERRATA................ VI ROZDZIAŁ I. TEORIA WEKTORÓW I. Działania na wektorach § 1. Określenia wstępne........................ 1 § 2. Współrzędne wektora........................ 2 § 3. Suma i różnica wektorów........................ 3 § 4. Iloczyn wektora przez liczbę........................ 4 § 5. Współrzędne sumy i iloczynu........................ 5 § 6. Rozkład wektora........................ 6 § 7. Iloczyn skalarowy........................ 7 § 8. Iloczyn wektorowy........................ 9 § 9. Iloczyn kilku wektorów................... 12 § 10. Funkcje wektorowe........................ 13 § 11. Moment wektora II. Układy wektorów...................... 15 § 12. Moment ogólny układu wektorów............... 19 § 13. Parametr........................ 21 § 14. Układy równoważne........................ 22 § 15. Para wektorów........................ 23 § 16. Redukcja układu wektorów........................ 24 § 17. Oś środkowa. Skrętnik........................ 26 § 18. Środek wektorów równoległych........................ 28 § 19. Przekształcenia elementarne układu........................ 29 ROZDZIAŁ II. KINEMATYKA PUNKTU I. Ruch względem układu odniesienia § 1. Czas.............................. 32 § 2. Układ odniesienia........................ 32 § 3. Ruch punktu........................ 33 § 4. Wykres ruchu........................ 34 § 5. Prędkość........................ 34 § 6. Przyśpieszenie........................ 36 § 7. Rozkład przyśpieszenia na styczne i normalne........................ 40 § 8. Prędkość i przyśpieszenie kątowe........................ 45 § 9. Ruch płaski w układzie biegunowym........................ 46 § 10. Prędkość polowa........................ 47 § 11. Wymiary wielkości kinematycznych........................ 49 II. Zmiana układu odniesienia § 12. Związek między współrzędnymi........................ 53 § 13. Związek między prędkościami........................ 56 § 14. Związki między przyśpieszeniami........................ 59 § 15. Wyznaczanie ruchu względnego........................ 65 ROZDZIAŁ III. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I. Dynamika punktu swobodnego § 1. Podstawowe pojęcia dynamiki........................ 70 § 2. Prawa dynamiki Newtona........................ 72 § 3. Układy jednostek dynamicznych........................ 75 § 4. Równania ruchu........................ 78 § 5. Ruch pod wpływem siły ciężkości........................ 81 § 6. Ruch w ośrodku stawiającym opór........................ 83 § 7. Moment ilości ruchu........................ 85 § 8. Ruch środkowy........................ 86 § 9. Ruchy planet........................ 89 § 10. Praca........................ 93 § 11. Pole sił potencjalne........................ 97 § 12. Przykłady pól potencjalnych........................ 102 § 13. Energia kinetyczna i potencjalna........................ 105 § 14. Ruch punktu przyciąganego przez masę nieruchomą........................ 107 § 15. Ruch harmoniczny........................ 111 § 16. Warunki równowagi w polu sił........................ 120 II. Dynamika punktu nieswobodnego § 17. Równania ruchu........................ 123 § 18. Ruch punktu nieswobodnego po krzywej........................ 125 § 19. Ruch punktu nieswobodnego po powierzchni........................ 129 § 20. Wahadło matematyczne........................ 131 § 21. Równowaga punktu nieswobodnego........................ 133 III. Dynamika ruchu względnego § 22. Prawa ruchu........................ 137 § 23. Przykłady ruchu........................ 138 § 24. Równowaga względna........................ 142 § 25. Ruch względem ziemi........................ 146 ROZDZIAŁ IV. GEOMETRIA MAS I. Układy punktów § 1. Momenty statyczne........................ 153 § 2. Środek masy........................ 154 § 3. Momenty stopnia drugiego........................ 159 § 4. Elipsoida bezwładności. Osie bezwładności........................ 163 § 5. Momenty kwadratowe układu płaskiego........................ 169 II. Bryły, powierzchnie i linie materialne § 6. Gęstość....................... 170 § 7. Momenty statyczne i bezwładności. Środek masy........................ 173 § 8. Środki ciężkości niektórych linij, powierzchni i brył........................ 179 § 9. Momenty bezwładności niektórych linij, powierzchni i brył........................ 182 ROZDZIAŁ V. UKŁADY PUNKTÓW MATERIALNYCH § 1. Równania ruchu........................ 190 § 2. Ruch środka masy........................ 198 § 3. Moment ilości ruchu........................ 202 § 4. Praca i potencjał układu punktów........................ 211 § 5. Energia kinetyczna układu punktów........................ 218 § 6. Zagadnienie dwóch ciał........................ 225 § 7. Zagadnienie n ciał........................ 228 § 8. Ruch ciał o masie zmiennej........................ 231

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Mechanika II

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ROZDZIAŁ VI. STATYKA CIAŁA SZTYWNEGO I. Ciało swobodne § 1. Ciało sztywne................. 235 § 2. Siła.......................... 236 § 3. Hipotezy równowagi sił........ 239 § 4. Przekształcanie układów sił.... 239 § 5. Warunki równowagi sił.......... 245 § 6. Grafostatyka. Wielobok sznurowy... 238 § 7. Niektóre zastosowania wieloboku sznurowego.... 256 II. Ciało nieswobodne § 8. Warunki równowagi.................... 261 § 9. Reakcje ciał stykających się......... 262 § 10. Tarcie.............................. 271 § 11. Warunki równowagi nie zawierające reakcji......... 274 § 12. Równowaga ciał ciężkich podpartych................ 282 § 13. Siły wewnętrzne................................. 288 III. Układy ciał § 14. Warunki równowagi....................... 290 § 15. Układy prętów........................... 292 § 16. Kratownice.................................. 298 § 17. Równowaga lin ciężkich..................... 305 ROZDZIAŁ VII. KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO § 1. Przesunięcie i obrót ciała około osi.......... 310 § 2. Przesunięcia punktów ciała w ruchu płaskim........ 313 § 3. Przesunięcia punktów ciała....................... 315 § 4, Ruch postępowy i ruch obrotowy około osi............ 320 § 5. Rozmieszczenie prędkości w ciele sztywnym........... 323 § 6. Ruch chwilowy płaski............................ 326 § 7. Ruch chwilowy przestrzenny....................... 332 § 8. Toczenie i ślizganie...................... 339 § 9. Składanie ruchów ciała....................... 343 § 10. Przedstawienie analityczne ruchu ciała sztywnego.......... 351 § 11. Rozkład przyśpieszeń............................. 357 ROZDZIAŁ VIII. DYNAMIKA CIAŁA SZTYWNEGO § 1. Praca i energia kinetyczna............ 361 § 2. Równania ruchu........................... 365 § 3. Obrót około osi stałej.................. 375 § 4. Ruch płaski............................. 387 § 5. Kręt.................................. 394 § 6. Równania Eulera......................... 399 § 7. Obrót ciała około punktu bez działania sił............... 401 § 8. Obrót ciała ciężkiego około punktu..................... 408 § 9. Ruch kuli po płaszczyźnie............................. 408 § 10. Giroskop Foucaulta................................ 414 ROZDZIAŁ IX. ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH § 1. Układy holonomiczne skleronomiczne..................... 420 § 2. Przesunięcia przygotowane.............................. 424 § 3. Zasada prac przygotowanych............................. 436 § 4. Wyznaczanie położenia równowagi w polu sił............ 449 § 5. Współrzędne uogólnione Lagrange'a..................... 455 ROZDZIAŁ X. DYNAMIKA UKŁADÓW HOLONOMICZNYCH § 1. Układy holonomiczne............................. 470 § 2. Układy anholonomiczne........................... 472 § 3. Przesunięcia przygotowane........................ 473 § 4. Zasada d'Alemberta............................... 478 § 5. Praca i energia kinetyczna w układach skleronomicznych.................. 483 § 6. Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju.......................... 485 § 7. Równania Lagrange'a drugiego rodzaju............................ 488 § 8. Równania kanoniczne Hamiltona................................ 504 ROZDZIAŁ XI. ZASADY WARIACYJNE MECHANIKI § 1. Wariacja bez wariacji czasu............................. 510 § 2. Zasada Hamiltona.............................. 518 § 3. Wariacja z wariacją czasu................................ 529 § 4. Zasada Maupertuis (najmniejszego działania)................. 534 DODATEK............................................ 541 SKOROWIDZ NAZW................................. 544

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Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych

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SPIS RZECZY PRZEDMOWA...................... III WSTĘP. Liczby rzeczywiste...... 1 1. Aksjomaty i definicje. 2. Zbiory liniowe. 3. Liczby nieskończone. ROZDZIAŁ I. Teoria zbiorów § 1. Algebra zbiorów....... 4 1. Działania na zbiorach. 2. Działania nieskończone. 3. Znakowanie logiczne. 4. Produkt zbiorów. Funkcje zdaniowe wielu zmiennych. 5. Interpretacja geometryczna kwantora. § 2. Odwzorowania zbiorów, pojęcie ciągu, produkt nieskończony zbiorów...... 14 1. Odwzorowanie (funkcja). 2. Ciąg. 3. Produkt nieskończony. § 3. Moce zbiorów.............. 15 1. Równość mocy. 2. Moc produktu. 3. O porównywaniu mocy zbiorów. 4. Zbiory przeliczalne. 5. Zbiory mocy c (continuum). 6. Zbiory mocy f. § 4. Zbiory uporządkowane........... 35 1. Porządek. 2. Zbiory podobne. 3. Zbiory typu η i λ. 4. Przekrój. § 5. Zbiory dobrze uporządkowane.................... 37 1. Pojęcie dobrego uporządkowania. 2. Odcinki zbioru dobrze uporządkowanego. 3. Twierdzenia o podobieństwie. 4. Twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. 5. Indukcja pozaskończona. ROZDZIAŁ II. Granica ciągu § 1. Przedziały......................... 44 1. Przedziały skończone. 2. Przedziały nieskończone. 3. Część wspólna ciągu przedziałów. § 2. Kresy zbioru.................................. 46 1. Zbiory ograniczone. 2. Kres górny. 3. Kres dolny. § 3. Granice............................ 47 1. Granica ciągu. 2. Warunki zbieżności. 3. Działania na ciągach. 4. Szeregi. 5. Punkt graniczny ciągu. 6. Granica górna i dolna ciągu. ROZDZIAŁ III. Zbiory punktowe § 1. Zbiory liniowe....................... 57 1. Zbiory zamknięte. 2. Zbiory brzegowe, otwarte, doskonałe. 3. Gęstość. 4. Spójność. 5. Kategoria zbioru. 6. Pokrycie zbioru. 7. Odległość, odstęp, średnica. § 2. Zbiory w przestrzeni m-wymiarowej..................... 73 1. Definicje podstawowe. 2. Przedziały. 3. Granice. 4. Otoczenie. 5. Odstęp, średnica. 6. Spójność. 7. Zbiory wypukłe. 8. Pokrycie zbioru. 9. Pewne własności ciągów zbiorów zamkniętych. 10. Struktura zbiorów zamkniętych. 11. Zbiory $F_σ$ i $G_δ$. ROZDZIAŁ IV. Funkcje w $ℰ^m$ § 1. Funkcje ciągłe............ 104 1. Granica funkcji. 2. Ciągłość. 3. Własności funkcji ciągłych. 4. Ciągłość jednostajna. 5. Funkcje o wartościach z $ℰ^n$. Moduł ciągłości. 6. Warunek Holdera. 7. Przedłużanie funkcyj ciągłych. § 2. Ciągi funkcyj. Zbiory zwarte funkcyj..................... 122 1. Granica ciągu funkcyj. 2. Zbieżność jednostajna. 3. Zbiory zwarte funkcyj. § 3. Przybliżanie funkcyj ciągłych wielomianami....................... 137 Wielomiany Bernsteina 1. Lemat o linii łamanej. 2. Przybliżanie funkcji |x|. 3. Przybliżanie dowolnej funkcji ciągłej. 4. Wielomiany Bernsteina. 5. Funkcje 1-ej klasy Baire'a. 6. Klasyfikacja Baire'a. § 4. Krzywe w przestrzeniach $ℰ^n$........................ 150 1. Definicje. 2. Krzywa Peany. 3. Krzywa ciągła wypełniająca przedział w $ℰ^n$. 4. Charakterystyka krzywych ciągłych. ROZDZIAŁ V. Całka Riemanna § 1. Całka pojedyncza....................... 162 1. Podział przedziału. 2. Całka Riemanna. 3. Całka sumy funkcyj. 4. Sumy dolna i górna. 5. Całki górna i dolna. 6. Warunki całkowalności funkcji według Riemanna. 7. Zbiory miary Lebesgue'a 0. 8. Warunki całkowalności funkcji według Lebesgue'a. 9. Własności funkcyj całkowalnych ℜ. 10. Całka Riemanna a funkcja pierwotna. § 2. Całki wielokrotne............................ 179 1. Podział przedziału. 2. Miara przedziału. 3. Określenie całki wielokrotnej. 4. Sumy dolne i górne. 5. Całki dolne i górne. 6. Warunki całkowalności ℜ. 7. Zbiory miary Lebesgue'a 0. 8. Warunki Lebesgue'a całkowalności 9. Własności całki wielokrotnej. 10. Całka wielokrotna jako całka iterowana. § 3. Miara Jordana. Całka ℜ na zbiorze................... 195 1. Miara zewnętrzna ℑ. 2. Miara wewnętrzna ℑ. 3. Własności miary Jordana. 4. Zbiory mierzalne ℑ. 5. Przesunięcie równoległe. 6. Całka ℜ funkcji w zbiorze. 7. Miara Jordana jako całka. 8. Warunki całkowalności ℜ funkcji w zbiorze. 9. Całka Riemanna jako miara Jordana. 10. Całka w zbiorze jako całka iterowana. 11. Miara (objętość) kuli w $ℰ^n$. SKOROWIDZ NAZW............................... 218 SKOROWIDZ NAZWISK............................ 222 ERRATA....................................... 222

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Mechanics

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CONTENTS Preface................ III CHAPTER I. THEORY OF VECTORS I. Operations on vectors § 1. Preliminary definitions.................. 1 § 2. Components of a vector.................. 2 § 3. Sum and difference of vectors.................. 3 § 4. Product of a vector by a number.................. 4 § 5. Components of a sum and product.................. 5 § 6. Resolution of a vector.................. 6 § 7. Scalar product.................. 7 § 8. Vector product.................. 9 § 9. Product of several vectors.................. 12 § 10. Vector functions.................. 13 § 11. Moment of a vector.................. 15 II. Systems of vectors § 12. Total moment of a system of vectors.................. 19 § 13. Parameter.................. 20 § 14. Equipollent systems.................. 21 § 15. Vector couple.................. 23 § 16. Reduction of a system of vectors.................. 23 § 17. Central axis. Wrench.................. 26 § 18. Centre of parallel vectors.................. 27 § 19. Elementary transformations of a system.................. 28 CHAPTER II. KINEMATICS OF A POINT I. Motion relative to a frame of reference § 1. Time.................. 32 § 2. Frame of reference.................. 32 § 3. Motion of a point.................. 33 § 4. Graph of a motion.................. 34 § 5. Velocity.................. 34 § 6. Acceleration.................. 36 § 7. Resolution of the acceleration along a tangent and a normal.................. 39 § 8. Angular velocity and acceleration.................. 45 § 9. Plane motion in a polar coordinate system.................. 46 § 10. Areal velocity.................. 47 § 11. Dimensions of kinematic magnitudes.................. 49 II. Change of frame of reference § 12. Relation among coordinates.................. 52 § 13. Relation among velocities.................. 56 § 14. Relations among accelerations.................. 59 § 15. Determination of relative motion. Motion relative to a point.................. 65 CHAPTER III. DYNAMICS OF A MATERIAL POINT I. Dynamics of an unconstrained point § 1. Basic concepts of dynamics.................. 69 § 2. Newton's laws of dynamics.................. 71 § 3. Systems of dynamical units.................. 74 § 4. Equations of motion.................. 77 § 5. Motion under the influence of the force of gravity.................. 80 § 6. Motion in a resisting medium.................. 82 § 7. Moment of momentum.................. 84 § 8. Central motion.................. 85 § 9. Planetary motions.................. 87 § 10. Work.................. 92 § 11. Potential force field.................. 96 § 12. Examples of potential fields.................. 100 § 13. Kinetic and potential energy.................. 104 § 14. Motion of a point attracted by a fixed mass.................. 106 § 15. Harmonic motion.................. 110 § 16. Conditions for equilibrium in a force field.................. 118 II. Dynamics of a constrained point § 17. Equations of motions.................. 121 § 18. Motion of a constrained point along a curve.................. 123 § 19. Motion of a constrained point along a surface.................. 127 § 20. Mathematical pendulum.................. 129 § 21. Equilibrium of a constrained point.................. 131 III. Dynamics of relative motion § 22. Laws of motion.................. 135 § 23. Examples of motion.................. 136 § 24. Relative equilibrium.................. 140 § 25. Motion relative to the earth........... 144 CHAPTER IV. GEOMETRY OF MASSES I. Systems of points § 1. Statical moments.................. 151 § 2. Centre of mass.................. 152 § 3. Moments of the second order.................. 157 § 4. Ellipsoid of inertia. Principal axes of inertia.................. 161 § 5. Second moments of a plane system.................. 166 II. Solids, surfaces and material lines § 6. Density...................... 167 § 7. Statical moments and moments of inertia. Centre of mass.................. 169 § 8. Centres of gravity of some curves, surfaces and solids.................. 175 § 9. Moments of inertia of some curves, surfaces and solids.................. 179 CHAPTER V. SYSTEMS OF MATERIAL POINTS § 1. Equations of motion.................. 186 § 2. Motion of the centre of mass.................. 194 § 3. Moment of momentum.................. 198 § 4. Work and potential of a system of points.................. 208 § 5. Kinetic energy of a system of points.................. 214 § 6. Problem of two bodies.................. 221 § 7. Problem of n bodies.................. 224 § 8. Motion of a body of variable mass.................. 227 CHAPTER VI. STATICS OF A RIGID BODY I. Unconstrained body § 1. Rigid body.................. 231 § 2. Force.................. 232 § 3. Hypotheses for the equilibrium of forces.................. 235 § 4. Transformations of systems of forces.................. 235 § 5. Conditions for equilibrium of forces.................. 244 § 6. Graphical statics.................. 249 § 7. Some applications of the string polygon.................. 253 II. Constrained body § 8. Conditions of equilibrium.................. 257 § 9. Reactions of bodies in contact.................. 258 § 10. Friction.................. 267 § 11. Conditions for equilibrium not involving the reaction.................. 270 § 12. Equilibrium of heavy supported bodies.................. 278 § 13. Internal forces III. Systems of bodies.................. 284 § 14. Conditions of equilibrium.................. 286 § 15. Systems of bars.................. 288 § 16. Frames.................. 294 § 17. Equilibrium of heavy cables.................. 302 CHAPTER VII. KINEMATICS OF A RIGID BODY § 1. Displacement and rotation of a body about an axis.................. 307 § 2. Displacements of points of a body in plane motion.................. 310 § 3. Displacements of the points of a body.................. 312 § 4. Advancing motion and rotation about an axis.................. 318 § 5. Distribution of velocities in a rigid body.................. 321 § 6. Instantaneous plane motion.................. 324 § 7. Instantaneous space motion.................. 330 § 8. Rolling and sliding.................. 337 § 9. Composition of motions of a body.................. 342 § 10. Analytic representation of the motion of a rigid body.................. 350 § 11. Resolution of accelerations.................. 357 CHAPTER VIII. DYNAMICS OF A RIGID BODY § 1. Work and kinetic energy.................. 360 § 2. Equations of motion.................. 364 § 3. Rotation about a fixed axis.................. 374 § 4. Plane motion.................. 385 § 5. Angular momentum.................. 393 § 6. Euler's equations.................. 397 § 7. Rotation of a body about a point under the action of no forces.................. 399 § 8. Rotation of a heavy body about a point.................. 406 § 9. Motion of a sphere on a plane.................. 409 § 10. Foucault's. gyroscope.................. 412 CHAPTER IX. PRINCIPLE OF VIRTUAL WORK § 1. Holonomo-scleronomic systems.................. 418 § 2. Virtual displacements.................. 422 § 3. Principle of virtual work.................. 434 § 4. Determination of the position of equilibrium in a force field.................. 446 § 5. Lagrange's generalized coordinates.................. 451 CHAPTER X. DYNAMICS OF HOLONOMIC SYSTEMS § 1. Holonomic systems.................. 466 § 2. Non-holonomic systems.................. 467 § 3. Virtual displacements.................. 468 § 4. D'Alembert's principle.................. 474 § 5. Work and kinetic energy in scleronomic systems.................. 478 § 6. Lagrange's equations of the first kind.................. 480 § 7. Lagrange's equations of the second kind.................. 483 § 8. Hamilton's canonical equations.................. 498 CHAPTER XI. VARIATIONAL PRINCIPLES OP MECHANICS § 1. Variation without the variation of time.................. 504 § 2. Hamilton's principle.................. 512 § 3. Variation with the variation of time.................. 522 § 4. Maupertuis' principle (of least action)..................... 527 Appendix. Ordinary differential equations of the second order with constant coefficients............. 534 Index......................... 537

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Théorie des opérations linéaires

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PRÉFACE............................................................................................... III ERRATA................................................................................................ VIII INTRODUCTION. A. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes § 1. Quelques théorèmes de la théorie de l'intégrale de Lebesgue...................................... 1 § 2. Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable............................... 2 § 3. La convergence asymptotique...................................................................... 3 § 4. La convergence en moyenne........................................................................ 4 § 5. L'intégrale de Stieltjes......................................................................... 4 § 6. Le théorème de Lebesgue.......................................................................... 7 B. Ensembles et opération mesurables (B) dans les espaces métriques § 7. Espaces métriques................................................................................ 8 § 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12 § 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15 CHAPITRE I. Groupes § 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20 § 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21 § 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23 § 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24 CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux § 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26 § 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27 § 3. Applications: généralisation des notions d'intégrale, de mesure et de limite..................... 29 CHAPITRE III. Espaces du type (F) § 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35 § 2. Opérations homogènes............................................................................. 36 § 3. Séries d'éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37 § 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43 § 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44 § 6. Systèmes d'équations linéaires a une infinité d'inconnues........................................ 47 § 7. Applications de l'espace (s)..................................................................... 50 CHAPITRE IV. Espaces normes § 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53 § 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54 § 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d'éléments............................................ 57 § 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)), (c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59 § 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72 § 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons linéaires de fonctions................................................................................ 73 § 7. Le problème des moments.......................................................................... 74 § 8. Conditions pour l'existence des solutions de certains systèmes d'équations a une infinité d'inconnues............................................................................ 76 CHAPITRE V. Espaces du type (B) § 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78 § 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81 § 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83 § 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84 § 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86 § 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88 § 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90 CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées § 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96 § 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97 § 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99 § 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101 CHAPITRE VII. Sites biorthogonales § 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106 § 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108 § 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110 § 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112 CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) § 1. Préliminaires.................................................................................... 115 § 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116 § 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118 § 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122 § 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123 § 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126 § 7. Compacticité faible d'ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130 § 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires............................................................................................. 131 CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d'éléments § 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d'éléments.......................... 133 § 2. Convergence faible des suites d'éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134 § 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139 § 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140 § 5. Un théorème sur la convergence faible d'éléments................................................. 143 CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires § 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145 § 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151 § 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157 § 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159 § 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161 § 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162 § 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163 CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie § 1. Isométrie........................................................................................ 165 § 2. Les espaces $(L^2)$ et $(l^2)$................................................................... 165 § 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166 § 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168 § 5. Rotations........................................................................................ 173 § 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180 § 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181 § 8. Espace (C) comme l'espace universel.............................................................. 185 § 9. Espaces conjugués................................................................................ 188 CHAPITRE XII. Dimension linéaire. § 1. Définitions....................................................................................... 193 § 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194 § 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197 ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B). § 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208 § 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217 REMARQUES.............................................................................................. 226

6

Sur le problème de la mesure

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1923

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tom 4

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nr 1

7-33

FR

Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).

7

Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est finie

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1925

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tom 7

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nr 1

225-236

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si C est un arc simple dans le plan, la condition nécessaire et suffisante pour que C soit rectifiable est que les fonctions N_x(s,C) et N_y(s,C) soient intégrale, ou N_x(s,C) désigne le nombre de points en lesquels la droite x=s coupe l'arc C. Théorème: La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction continue y=f(x) à variation bornée soit absolument continue est que tout ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'abscisses soit transformé par cette fonction en un ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'ordonnées.

8

Sur les fonctions dérivées des fonctions mesurables

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1922

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tom 3

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nr 1

128-132

FR

Le but de cette note est de démontrer que les fonctions derivées de Dini d'une fonction f(x) mesurable (L) sont mesurable (L).

9

Sur une classe de fonctions continues

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1926

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tom 8

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nr 1

166-172

FR

Le but de cette note est d'établir quelques relations qui subsistent entre certaines classes de fonctions continues.

10

Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1922

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tom 3

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nr 1

133-181

FR

Le but de cette note est d'établir quelques théorèmes valables pour différents champs fonctionnels.

11

Sur une classe de fonctions d'ensemble

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 6

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nr 1

170-188

FR

Dan ce mémoire l'auteur s'occupe des fonctions d'ensembles définies pour les ensembles formant un corps K_0. Le corps K_0 est le produit de toutes les classes K de sous-ensembes du carre aux sommets (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) (carre fondamental) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. Tout carre ferme, contenu dans le carre fondamental, appartient à K; 2. Si E_1 et E_2 appartient à K, et si E_1E_2=0, alors E_1+E_2 appartient à K; 3. Si E_1 et E_2 appartient à K et E_2 ⊂ E_1, alors E_1-E_2 appartient à K.

12

Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1920

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tom 1

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nr 1

123-124

FR

Le but de cette note est de démontrer que toute fonction mesurable f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est continue (donc, d'après Cauchy, de la forme Ax).

13

Sur le théorème de M. Vitali

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 5

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nr 1

130-136

FR

Théorème: Soit E un ensemble plan quelconque mais borné et contenu dans un ensemble ouvert et borné Ω. Supposons qu'à tout point P de E correspond une suite infinie {W_i(P)} (i=1,2,...) des ensembles fermés W_i(P) contenus dans Ω et remplissant les hypothèses suivantes: 1. W_i(P) est situe dans un cercle K_i(P) dont P est le centre, 2. lim_(i → ∞) |K_i(P)| = 0 (La notation |X| signifie la mesure lebesguienne de X, si X est mesurable (L)) 3. il existe un nombre positif α tel que l'inégalité |W_i(P)|/|K_i(P)| > α a lieu pour i naturel et pour tout P de E; alors il existe une suite finie ou infinie {P_n} des points appartenant à E et une suite des nombres naturelles {a_n}, telles que les ensembles W_{a_n}(P_n) aient les propriétés 1. que leur somme ∑_{n=1}^{∞}Z_n recouvre presque tout l'ensemble E; 2. Z_p Z_q = 0 pour p ≠ q.

14

Un théorème sur les transformations biunivoques

93%

Banach S.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 6

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nr 1

236-239

FR

Le but de cette note est de démontrer le théorème Théorème: Si la fonction φ transforme d'une façon biunivoque l'ensemble A en un sous-ensemble de B et de même la fonction ψ transforme un sous-ensemble de A en l'ensemble B, il existe une décomposition des ensembles A et B: A = A_1+A_2, B=B_1+B_2 qui satisfait aux conditions: A_1 × A_2=0=B_1 × B_2, φ(A_1)=B_1 et ψ(A_2) = B_2 et d'en tirer quelques conséquences.

15

Sur la représentation des fonctions indépendantes à l'aide des fonctions de variables distinctes. Rédigé d'après une notice posthume par S. Hartman et E. Marczewski

93%

Banach S., Hartman S., Marczewski E.

Colloquium Mathematicum

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1947-1948

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tom 1

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nr 2

109-121

16

Sur le suites d'ensembles excluant l'existence d'une mesure. Note posthume avec préface et commentaire de E. Marczewski

70%

Banach S., Marczewski E.

Colloquium Mathematicum

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1947-1948

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tom 1

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nr 2

103-108

17

Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes

60%

Banach S., Tarski A.

Fundamenta Mathematicae

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1924

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tom 6

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nr 1

244-277

FR

Nous étudions dans cette note les notions de l'équivalence des ensembles de points par décomposition finie, resp. dénombrable. Les principaux résultats contenus dans le présent article sont les suivants: Théorème: Dans un espace euclidien à n ≥ 3 dimensions deux ensembles arbitraires, bornes et contenant des points intérieurs (par exemple deux sphères a rayons différentes), sont équivalents par décomposition finie. Un théorème analogue subsiste pour les ensembles situes sur la surface d'une sphère, mais le théorème correspondant concernant l'espace euclidien à 1 ou 2 dimensions est faux. D'autre part: Théorème: Dans un espace euclidien à n ≥ 1 dimensions deux ensembles arbitraires (bornes ou non), contenant des points intérieures, sont équivalents par décomposition dénombrable.

18

Sur le principe de la condensation de singularités

60%

Banach S., Steinhaus H.

Fundamenta Mathematicae

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1927

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tom 9

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nr 1

50-61

FR

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Soit {u_{pq}(x)} une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un x_p tel que l'on ait lim_{q → ∞} sup ||u_{pq}(x_p)|| = ∞, alors il existe un x (independant de p) remplissant toutes les relations lim_{q → ∞} sup ||u_{pq}(x)|| = ∞. Théorème: Soit {u_{pq}(x)} une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un x_p rendant divergente la suite simple {u_{pq}(x_p)}_{q → ∞}, alors il existe un x (indépendant de p) qui rend divergentes toutes les suites simples {u_{pq}(x)}_{q → ∞}.

19

TRAVAUX sur L'ANALYSE FONCTIONELLE avec l'article de A. Pełczyński sur la théorie des espaces de Banach Stefan Banach, Ouevres Volume II

44%

Banach S., Bessaga C., Pełczyński A., Steinhaus H., Saks S., Mazur S., Kuratowski K.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

FR

comité de rédaction: Czesław Bessaga, Stanisław mazur, Władysław Orlicz, Aleksander Pełczyński, Stefan Rolewicz, Wiesław Żelazko Front page of Volume II, p.1-1 Tables des Matières, p.1-4 Préface, p.5-5 Publications de Stefan Banach, p.7-11 S. Banach: Front page and preface to "THÉORIE DES OPÉRATIONS LINÉAIRES" (MONOGRAFIE MATEMATYCZNE V.1), p.13-18 S. Banach: THÉORIE DES OPÉRATIONS LINÉAIRES (MONOGRAFIE MATEMATYCZNE T.1), p.19-222 C. Bessaga, A. Pełczyński: SOME ASPECTS OF THE PRESENT THEORY OF BANACH SPACES, p.223-304 S. Banach: SUR LES OPÉRATIONS DANS LES ENSEMBLES ABSTRAITS ET LEUR APPLICATION AUX ÉQUATIONS INTÉGRALES, p.305-348 S. Banach: SUR LE PROLONGEMENT DE CERTAINES FONCTIONNELLES, p.349-350 S. Banach: SUR LA CONVERGENCE PRESQUE PARTOUT DE FONCTIONNELLES LINÉAIRES, p.355-364 S. Banach, H. Steinhaus: SUR LE PRINCIPE DE LA CONDENSATION DE SINGULARITÉS, p.365-374 S. Banach: SUR LES FONCTIONNELLES LINÉAIRES, p.375-380 S. Banach: SUR LES FONCTIONNELLES LINÉAIRES II, p.381-395 S. Banach, S. Saks: SUR LA CONVERGENCE FORTE DANS LE CHAMP LP, p.396-401 S. Banach: ÜBER METRISCHE GRUPPEN, p.402-411 S. Banach, S. Mazur: EINE BEMERKUNG ÜBER DIE KONVERGENZMENGEN VON FOLGEN LINEARER OPERATIONEN, p.412-415 S. Banach, C. Kuratowski: SUR LA STRUCTURE DES ENSEMBLES LINÉAIRES, p.416-419 S. Banach, S. Mazur: ZUR THEORIE DER LINEAREN DIMENSION, p.420-430 S. Banach, S. Mazur: SUR LA DIMENSION LINÉAIRE DES ESPACES FONCTIONNELS, p.431-433 S. Banach: DIE THEORIE DER OPERATIONEN UND IHRE BEDEUTUNG FÜR DIE ANALYSIS, p.434-441 S. Banach: ÜBER HOMOGENE POLYNOME IN (L2), p.442-449 S. Banach: ÜBER DAS „LOI SUPRÊME" VON J. HOENE-WROŃSKI, p.450-457 S. Banach: SUR LA DIVERGENCE DES INTERPOLATIONS, p.458-464 S. Banach: REMARQUES SUR LES GROUPES ET LES CORPS MÉTRIQUES (RÉDIGÉ D'APRÈS UNE NOTICE POSTHUME PAR S. HARTMAN), p.465-468 Tables des Matières du Volume I, p.469-470

20

Sur les fonctions absolument continues des fonctions absolument continues

42%

Banach S., Saks S.

Fundamenta Mathematicae

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1928

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tom 11

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nr 1

113-116

Ograniczanie wyników

Mechanika I

Mechanika II

Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych

Mechanics

Théorie des opérations linéaires

Sur le problème de la mesure

Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est finie

Sur les fonctions dérivées des fonctions mesurables

Sur une classe de fonctions continues

Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales

Sur une classe de fonctions d'ensemble

Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Sur le théorème de M. Vitali

Un théorème sur les transformations biunivoques

Sur la représentation des fonctions indépendantes à l'aide des fonctions de variables distinctes. Rédigé d'après une notice posthume par S. Hartman et E. Marczewski

Sur le suites d'ensembles excluant l'existence d'une mesure. Note posthume avec préface et commentaire de E. Marczewski

Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes

Sur le principe de la condensation de singularités

TRAVAUX sur L'ANALYSE FONCTIONELLE avec l'article de A. Pełczyński sur la théorie des espaces de Banach Stefan Banach, Ouevres Volume II

Sur les fonctions absolument continues des fonctions absolument continues