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Théorie de l'intégrale

100%
Saks S.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
FR
PRÉFACE.............................................. III ERRATA............................................... VIII CHAPITRE I. Fonctions de figure élémentaire. Fonctions d'ensemble. Remarques préliminaires [§ 1].. 1 Termes et notations [§ 2-4].......................... 2 Intervalle. Figure élémentaire [§ 5].......................... 5 Fonctions de figure élémentaire [§ 6].......................... 6 Fonctions continues. Oscillation [§ 7].......................... 7 Fonctions additives. Variations [§ 8-9].......................... 7 Décomposition canonique de Jordan [§ 10].......................... 8 Fonctions monotones [§ 11].......................... 9 Ecarts des fonctions. Fonctions absolument continues [§ 12].......................... 10 Fonctions singulières. Décomposition de Lebesgue [§ 13].......................... 11 Fonctions d'une variable réelle [§ 14-15].......................... 17 CHAPITRE II. Mesure de Lebesgue. Ensembles et fonctions mesurables. Préliminaires [§ 1].......................... 22 Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24 Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26 Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33 Fonctions de point [§ 8].......................... 36 Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36 Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40 Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42 Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44 CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées. Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46 Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48 Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52 Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53 Fonctions singulières [§ 7].......................... 55 Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56 CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive) Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61 Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64 Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65 Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68 Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69 Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76 CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique). Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78 Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82 Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84 Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85 Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88 Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91 CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y) Préliminaires [§ 1].......................... 99 Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101 Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102 Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107 Fonctions a variation bornée et absolument continues de deux variables [§10]....................................................... 108 Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109 Théorème de Radó [§ 14].......................... 116 Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120 CHAPITRE VII. Intégrale de Perron Préliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122 Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126 Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128 Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128 Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132 Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137 Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138 Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139 CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée. Préliminaires [§ 1].......................... 142 Théorème de Baire [§ 2].......................... 144 Limites approximatives [§ 3].......................... 144 Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146 Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148 Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150 Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151 Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152 Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153 Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158 Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160 Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161 Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161 Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164 CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives. Préliminaires [§ 1].......................... 167 Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167 Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168 Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177 Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180 Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182 Condition (D) [§ 9].......................... 185 Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188 Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190 CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy. Préliminaires [§ 1].......................... 197 Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197 Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200 Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201 Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203 Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204 Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205 Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211 Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217 Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219 CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles. Préliminaires [§ 1].......................... 222 Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223 Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225 Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233 Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239 Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242 ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits. Généralités [§ 1].......................... 247 Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247 Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251 Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251 Espaces-produits [§ 9].......................... 257 Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259 NOTE. Sur la mesure de Haar par STEFAN BANACH.................................... 264 OUVRAGES CITÉS....................................................................... 273 INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285 INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285
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Theory of the integral

100%
Saks S.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
EN
CONTENTS PREFACE...................... III ERRATA.......................... VII CHAPTER I. The integral in an abstract space § 1. Introduction.................................. 1 § 2. Terminology and notation...................... 4 § 3. Abstract space X.............................. 6 § 4. Additive classes of sets...................... 7 § 5. Additive functions of a set................... 8 § 6. The variations of an additive function........ 10 § 7. Measurable functions.......................... 12 § 8. Elementary operations on measurable functions... 14 § 9. Measure....................................... 16 § 10. Integral..................................... 19 § 11. Fundamental properties of the integral....... 21 § 12. Integration of sequences of functions........ 26 § 13. Absolutely continuous additive functions of a set..... 30 § 14. The Lebesgue decomposition of an additive function.... 32 § 15. Change of measure.................................... 36 CHAPTER II. Carathéodory measure § 1. Preliminary remarks.................................. 39 § 2. Metrical space....................................... 39 § 3. Continuous and semi-continuous functions............. 42 § 4. Carathéodory measure.................................. 43 § 5. The operation (A)..................................... 47 § 6. Regular sets.......................................... 50 § 7. Borel sets............................................ 51 § 8. Length of a set....................................... 53 § 9. Complete space........................................ 54 CHAPTER III. Functions of bounded variation and the Lebesgue-Stieltjes integral § 1. Euclidean spaces....................................... 56 § 2. Intervals and figures.................................. 57 § 3. Functions of an interval............................... 59 § 4. Functions of an interval that are additive and of bounded variation.... 61 § 5. Lebesgue-Stieltjes integral. Lebesgue integral and measure.......... 64 § 6. Measure defined by a non-negative additive function of an interval..... 67 § 7. Theorems of Lusin and Vitali-Carathéodory.............................. 72 § 8. Theorem of Fubini...................................................... 76 § 9. Fubini's theorem in abstract spaces.................................... 82 § 10. Geometrical definition of the Lebesgue-Stieltjes integral............. 88 § 11. Translations of sets.................................................. 90 § 12. Absolutely continuous functions of an interval....................... 93 § 13. Functions of a real variable.......................................... 96 § 14. Integration by parts.................................................. 102 CHAPTER IV. Derivation of additive functions of a set and of an interval § 1. Introduction.......................................... 105 § 2. Derivates of functions of a set and of an interval.......................................... 106 § 3. Vitali's Covering Theorem.......................................... 109 § 4. Theorems on measurability of derivates.......................................... 112 § 5. Lebesgue's Theorem.......................................... 114 § 6. Derivation of the indefinite integral.......................................... 117 § 7. The Lebesgue decomposition.......................................... 118 § 8. Rectifiable curves.......................................... 121 § 9. De la Vallée Poussin's theorem.......................................... 125 § 10. Points of density for a set.......................................... 128 § 11. Ward's theorems on derivation of additive functions of an interval.......................................... 133 § 12. A theorem of Hardy-Littlewood.......................................... 142 § 13. Strong derivation of the indefinite integral.......................................... 147 § 14. Symmetrical derivates.......................................... 149 § 15. Derivation in abstract spaces.......................................... 152 § 16. Torus space.......................................... 157 CHAPTER V. Area of a surface z=F(x,y) § 1. Preliminary remarks.......................................... 163 § 2. Area of a surface.......................................... 164 § 3. The Burkill integral.......................................... 165 § 4. Bounded variation and absolute continuity for functions of two variables.......................................... 169 § 5. The expressions of de Geöcze.......................................... 171 § 6. Integrals of the expressions of de Geöcze.......................................... 174 7. Radò's Theorem.......................................... 177 § 8. Tonelli's Theorem.......................................... 181 CHAPTER VI. Major and minor functions § 1. Introduction.......................................... 186 § 2. Derivation with respect to normal sequences of nets.......................................... 188 § 3. Major and minor functions.......................................... 190 § 4. Derivation with respect to binary sequences of nets.......................................... 191 § 5. Applications to functions of a complex variable.......................................... 195 § 6. The Perron integral.......................................... 201 § 7. Derivates of functions of a real variable.......................................... 203 § 8. The Perron-Stieltjes integral.......................................... 207 CHAPTER VII. Functions of generalized bounded variation § 1. Introduction.......................................... 213 § 2. A theorem of Lusin.......................................... 215 § 3. Approximate limits and derivatives.......................................... 218 § 4. Functions VB and VBG.......................................... 221 § 5. Functions AC and ACG.......................................... 223 § 6. Lusin's condition (N).......................................... 224 § 7. Functions VB* and VBG*.......................................... 228 § 8. Functions AC* and ACG*.......................................... 231 § 9. Definitions of Denjoy-Lusin.......................................... 233 § 10. Criteria for the classes of functions VBG*, ACG*. VBG and ACG....... 234 CHAPTER VIII. Denjoy integrals § 1. Descriptive definition of the Denjoy integrals..................... 241 § 2. Integration by parts.......................................... 244 § 3. Theorem of Hake-Alexandroff-Looman.......................................... 247 § 4. General notion of integral.......................................... 254 § 5. Constructive definition of the Denjoy integrals.......................................... 256 CHAPTER IX. Derivates of functions of one or two real variables § 1. Some elementary theorems.......................................... 260 § 2. Contingent of a set.......................................... 262 § 3. Fundamental theorems on the contingents of plane sets.......................................... 264 § 4. Denjoy's theorems.......................................... 269 § 5. Relative derivates.......................................... 272 § 6. The Banach conditions (T1) and (T2).......................................... 277 § 7. Three theorems of Banach.......................................... 282 § 8. Superpositions of absolutely continuous functions.......................................... 286 § 9. The condition (D).......................................... 290 § 10. A theorem of Denjoy-Khintchine on approximate derivates.......................................... 295 § 11. Approximate partial derivates of functions of two variables.......................................... 297 § 12. Total and approximate differentials.......................................... 300 § 13. Fundamental theorems on the contingent of a set in space.......................................... 304 § 14. Extreme differentials.......................................... 309 NOTE I by S. Banach. On Haar's measure.......................................... 314 NOTE II by S.Banach. The Lebesgue integral in abstract spaces.......................................... 320 BIBLIOGRAPHY GENERAL INDEX.......................................... 341 NOTATIONS.......................................... 344
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Sur un théorème de M. Lusin

94%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1924
|
tom 6
|
nr 1
111-116
FR
Monsieur Lusin a démontre que l'ensemble des valeurs admises par une fonction aux points ou la dérivée unique existe et égale à 0, est de mesure nulle. Le but de cette note est de prouver qu'on peut remplacer dans l'énonce cite le mot "dérivée unique", par "un nombre dérivé quelconque de Dini".
4
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Sur l'équivalence de deux théorèmes de la théorie des ensembles

94%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1921
|
tom 2
|
nr 1
1-3
FR
Le but de cette note est de démontrer l'équivalence de suivants théorèmes: Théorème 1: Si un ensemble fermé et borné F est contenu dans une somme des domaines, il existe un nombre fini de ces domaines G_1,G_2,...,G_n, tels que F ⊂ ∑_{i=1}^{n}G_i. et Théorème 2: Si ℱ est une famille des ensembles fermés dont l'un au moins est borné, telle que pour chaque nombre fini de ces ensembles leur produit ne soit pas vide, on a aussi: ∏ ℱ ≢ 0.
5
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Sur les nombres dérivés des fonctions

94%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1924
|
tom 5
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nr 1
98-104
FR
Le but de cette note est de démontrer: Théorème: E - étant l'ensemble des points où une fonction f(x) admet un nombre dérivé supérieur (resp. inférieur) différent de ∞ (resp. -∞), ce nombre dérivé et de le dérivé opposè sont égaux et finis sur une pleine épaisseur de E.
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Sur les fonctions continues à un nombre dérivé sommable

94%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1925
|
tom 7
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nr 1
290-295
FR
Le but de cette note est de donner des conditions suffisantes et nécessaires pour qu'un fonction continue soit absolument continue, respectivement à variation bornée.
7
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Sur l'homéomorphie des variétés à deux dimensions

94%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1924
|
tom 5
|
nr 1
288-320
FR
L'auteur généralise le théorème de Jordan (qui a déterminé les invariants caractéristiques des surfaces biletères, fermées, resp. percées par un nombre fini de trous) à une classe très étendue des surfaces, notamment de celles qui sont homéomorphes des domaines situés sur des surfaces compactes (l'auteur propose d'appeler les surfaces de cette classe compactifiables). Il démontre que toute surface compactifiable est homéomorphe d'une surface compacte dépourvue d'un ensemble punctiforme et fermé P d'un type linéaire ν. Cette surface compacte étant bien déterminée par son nombre de connexion n, l'auteur démontre que le couple (n,ν) est un invariant caractéristique d'une surface compactifiable bilatère, ainsi que unilatère.
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Analytic functions

66%
Saks S., Zygmund A., Scott E. J.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
EN
CONTENTS PREFACE................................... III PREFACE TO THE ENGLISH EDITION................................... VII INTRODUCTION. THEORY OF SETS § 1. Fundamental definitions................................... 1 § 2. Denumerable sets................................... 3 § 3. Abstract topological space................................... 4 § 4. Closed and open sets................................... 6 § 5. Connected sets................................... 11 § 6. Compact sets................................... 13 § 7. Continuous transformations................................... 14 § 8. The plane................................... 17 § 9. Connected sets in the plane................................... 25 § 10. Square nets in the plane................................... 32 § 11. Real and complex functions................................... 36 § 12. Curves................................... 38 § 13. Cartesian product of sets................................... 40 CHAPTER I. FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE § 1. Continuous functions................................... 44 § 2. Uniformly and almost uniformly convergent sequences................................... 46 § 3. Normal families of functions................................... 49 § 4. Equi-continuous functions................................... 53 § 5. The total differential................................... 55 § 6. The derivative in the complex domain. Cauchy-Riemann equations................................... 57 § 7. The exponential function................................... 60 § 8. Trigonometric functions................................... 62 § 9. Argument................................... 68 § 10. Logarithm................................... 72 § 11. Branches of the logarithm, argument and power................................... 74 § 12. Angle between half-lines................................... 77 § 13. Tangent to a curve................................... 79 § 14. Homographic transformations................................... 80 § 15. Similarity transformations................................... 87 § 16. Regular curves................................... 91 § 17. Curvilinear integrals................................... 92 § 18. Examples................................. 95 CHAPTER II. HOLOMORPHIC FUNCTIONS § 1. The derivative in the complex domain................................... 98 § 2. Primitive function................................... 100 § 3. Differentiation of an integral with respect to a complex variable................................... 107 § 4. Cauchy's theorem for a rectangle................................... 112 § 5. Cauchy's formula for a system of rectangles................................... 112 § 6. Almost uniformly convergent sequences of holomorphic functions................................... 116 § 7. Theorem of Stieltjes-Osgood................................... 119 § 8. Morera's theorem.................................... 120 CHAPTER III. MEROMORPHIC FUNCTIONS § 1. Power series in the circle of convergence................................... 125 § 2. Abel's theorem................................... 128 § 3. Expansion of Log(1 - z)................................... 134 § 4. Laurent's series. Annulus of convergence................................... 137 § 5. Laurent expansion in an annular neighbourhood................................... 140 § 6. Isolated singular points................................... 143 § 7. Regular, meromorphic, and rational functions................................... 145 § 8. Roots of a meromorphic function................................... 150 § 9. The logarithmic derivative................................... 153 § 10. Rouché's theorem................................... 155 § 11. Hurwitz's theorem................................... 158 § 12. Mappings defined by meromorphic functions................................... 161 § 13. Holomorphic functions of two variables................................... 165 § 14. Weierstrass's preparation theorem................................... 167 CHAPTER IV. ELEMENTARY GEOMETRICAL METHODS OF THE THEORY OF FUNCTIONS § 1. Translation of poles................................... 171 § 2. Runge's theorem. Cauchy's theorem for a simply connected region................................... 176 § 3. Branch of the logarithm................................... 179 § 4. Jensen's formula................................... 181 § 5. Increments of the logarithm and argument along a curve................................... 183 § 6. Index of a point with respect to a curve................................... 186 § 7. Theorem on residues................................... 189 § 8. The method of residues in the evaluation of definite integrals................................... 194 § 9. Cauchy's theorem and formula for an annulus................................... 196 § 10. Analytical definition of a simply connected region................................... 204 § 11. Jordan's theorem for a closed polygon................................... 206 § 12. Analytical definition of the degree of connectivity of a region................................... 209 CHAPTER V. CONFORMAL TRANSFORMATIONS § 1. Definition................................... 214 § 2. Homographic transformations................................... 216 § 3. Symmetry with respect to a circumference................................... 217 § 4. Blaschke's factors................................... 220 § 5. Schwarz's lemma................................... 222 § 6. Riemann's theorem................................... 225 § 7. Radó's theorem................................... 231 § 8. The Schwarz-Christoffel formulae................................... 233 CHAPTER VI. ANALYTIC FUNCTION § 1. Introductory remarks................................... 238 § 2. Analytic element................................... 239 § 3. Analytic continuation along a curve................................... 246 § 4. Analytic functions................................... 247 § 5. Inverse of an analytic function................................... 254 § 6. Analytic functions arbitrarily continuable in a region................................... 255 § 7. Theorem of Poincaré-Volterra................................... 258 § 8. An analytic function as an abstract space................................... 259 § 9. Analytic functions in an annular neighbourhood of a point................................... 261 § 10. Analytic functions in an annular neighbourhood as an abstract space................................... 264 § 11. Critical points................................... 265 § 12. Algebraic critical points................................... 267 § 13. Auxiliary theorems of algebra................................... 268 § 14. Functions with algebraic critical points................................... 271 § 15. Algebraic functions................................... 275 § 16. Riemann surfaces................................... 277 CHAPTER VII. ENTIRE FUNCTIONS AND FUNCTIONS MEROMORPHIC IN THE ENTIRE OPEN PLANE § 1. Infinite products................................... 286 § 2. Weierstrass's theorem on the decomposition of entire functions into products................................... 295 § 3. Mittag-Leffler's theorem on the decomposition of meromorphic functions into simple fractions................................... 301 § 4. Cauchy's method of decomposing meromorphic functions into simple fractions................................... 305 § 5. Examples of expansions of entire and meromorphic functions................................... 309 § 6. Order of an entire function................................... 319 § 7. Dependence of the order of an entire function on the coefficients of its Taylor series expansion................................... 324 § 8. The exponent of convergence of the roots of an entire function................................... 327 § 9. Canonical product................................... 329 § 10. Hadamard's theorem................................... 332 § 11. Borel's theorem on the roots of entire functions................................... 338 § 12. The small theorem of Picard................................... 341 § 13. Schottky's theorem. Montel's theorem. Picard's great theorem................................... 346 § 14. Landau's theorem................................... 354 CHAPTER VIII. ELLIPTIC FUNCTIONS § 1. General remarks about periodic functions................................... 356 § 2. Expansion of a periodic function in a Fourier series................................... 360 § 3. General theorems on elliptic functions................................... 363 § 4. The function p(z)................................... 368 § 5. Differential equation of the function p(z)................................... 371 § 6. The function ζ(z) and σ(z)................................... 375 § 7. Construction of elliptic functions by means of the function σ(z)................................... 378 § 8. Expression of elliptic functions in terms of the functions ζ(z) and σ(z)................................... 380 § 9. Algebraic addition theorem for the function p(z)................................... 384 § 10. Algebraic relations between elliptic functions................................... 386 § 11. The modular function J(τ)................................... 387 § 12. Further properties of the function J(τ)................................... 392 § 13.Solution of the system of equations $g_2(ω,ω')=a$, $g_3(ω,ω')=b$................................... 403 § 14. Elliptic integrals................................... 404 CHAPTER IX. THE FUNCTIONS Γ(s) AND ζ(s) DIRICHLET SERIES § 1. The function Γ(s)................................... 411 § 2. The function B(p,q)................................... 416 § 3. Hankel's formulae for the function Γ(s)................................... 418 § 4. Stirling's formula................................... 420 § 5. The function ζ(s) of Riemann................................... 424 § 6. Functional equation of the function ζ(s)................................... 428 § 7. Roots of the function ζ(s)................................... 429 § 8. Dirichlet series................................... 432 INDEX................................... 441 ERRATA................................... 446
9
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Funkcje analityczne

66%
Zygmund A., Saks S.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
PL
PRZEDMOWA................. III ERRATA.................... VII WSTĘP TEORIA MNOGOŚCI § 1. Definicje podstawowe....... 1 § 2. Zbiory przeliczalne......... 3 § 3. Przestrzeń topologiczna abstrakcyjna..... 4 § 4. Zbiory domknięte i otwarte........ 6 § 5. Zbiory spójne....................... 11 § 6. Zbiory zwarte....................... 13 § 7. Przekształcenia ciągłe................ 15 § 8. Płaszczyzna........................... 17 § 9. Zbiory spójne na płaszczyźnie.......... 26 § 10. Siatki kwadratowe na płaszczyźnie.......... 32 § 11. Funkcje zespolone i rzeczywiste................. 36 § 12. Krzywe.................................... 38 § 13. Iloczyn kartezjański zbiorów...................... 41 ROZDZIAŁ I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ § 1. Funkcje ciągłe......................................... 43 § 2. Ciągi jednostajne i niemal jednostajnie zbieżne......... 46 § 3. Rodziny normalne funkcyj.......................... 49 § 4. Funkcje jednakowo ciągłe............................. 53 § 5. Różniczka zupełna................................. 54 § 6. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy-Riemanna.......... 56 § 7. Funkcja wykładnicza....................... 59 § 8. Funkcje trygonometryczne........................... 61 § 9. Argument....................................... 67 § 10. Logarytm................................. 70 § 11. Gałąź logarytmu, argumentu i potęgi.............. 73 § 12. Kąt między półprostymi....................... 76 § 13. Styczna do krzywej....................... 78 § 14. Przekształcenia homograficzne............... 79 § 15. Przekształcenia podobnościowe............. 85 § 16. Krzywe regularne..................... 89 § 17. Całka krzywoliniowa................. 90 § 18. Przykłady......................... 92 ROZDZIAŁ II. FUNKCJE HOLOMORFICZNE § 1. Pochodna w dziedzinie zespolonej......... 95 § 2. Funkcja pierwotna.................. 97 § 3. Różniczkowanie całki względem parametru zespolonego.......... 103 § 4. Twierdzenie Cauchy'ego dla prostokąta....... 105 § 5. Wzór Cauchy'ego dla układu prostokątów.................... 108 § 6. Ciągi niemal jednostajnie zbieżne funkcji holomorficznych...... 112 § 7. Twierdzenie Stieltjesa-Osgooda..................... 115 § 8. Twierdzenie Morery............. 116 ROZDZIAŁ III. FUNKCJE MEROMORFICZNE § 1. Szereg potęgowy w kole zbieżności................ 120 § 2. Twierdzenie Abela........................... 124 § 3. Rozwinięcie Log(1-z)............. 130 § 4. Szereg Laurenta. Pierścień zbieżności............ 132 § 5. Rozwinięcia Laurenta w otoczeniu pierścieniowym........ 136 § 6. Punkty osobliwe odosobnione......................... 138 § 7. Funkcje regularne, meromorficzne, wymierne.............. 140 § 8. Pierwiastki funkcji meromorficznej.................. 145 § 9. Pochodna logarytmiczna...................... 148 § 10. Twierdzenie Rouché..................... 150 § 11. Twierdzenie Hurwitza.................... 153 § 12. Odwzorowanie określone przez funkcje meromorficzne............. 156 § 13. Funkcje holomorficzne dwu zmiennych.................. 160 § 14. Twierdzenie przygotowawcze Weierstrassa................... 162 ROZDZIAŁ IV. ELEMENTARNE METODY GEOMETRYCZNE TEORII FUNKCJI § 1. Przesuwanie biegunów......................... 166 § 2. Twierdzenie Rungego. Twierdzenie Caychy'ego dla obszaru jednospójnego.......... 172 § 3. Gałąź logarytmu....................... 175 § 4. Wzór Jensena.......................... 176 § 5. Przyrosty logarytmu i argumentu wzdłuż krzywej...................... 178 § 6. Indeks punktu względem krzywej.............................. 181 § 7. Twierdzenie o residuach............................. 184 § 8. Metoda residuów w obliczaniu całek oznaczonych................ 188 § 9. Twierdzenie i wzór Cauchy'ego dla pierścienia................. 191 § 10. Definicja analityczna obszaru jednospójnego................. 198 § 11. Twierdzenie Jordana dla łamanej zamkniętej.................. 200 § 12. Definicja analityczna stopnia spójności obszaru............. 203 ROZDZIAŁ V. PRZEKSZTAŁCENIA WIERNE § 1. Definicja................................... 207 § 2. Przekształcenia homograficzne............... 209 § 3. Symetria względem okręgu.................... 210 § 4. Czynniki Blaschkego........................... 213 § 5. Lemmat Schwarza............................. 215 § 6. Twierdzenie Riemanna.................... 218 § 7. Twierdzenie Radó....................... 223 § 8. Wzory Schwarza-Christoffela................... 224 ROZDZIAŁ VI. FUNKCJE ANALITYCZNE § 1. Uwagi wstępne..................... 230 § 2. Element analityczny................ 231 § 3. Przedłużenie analityczne wzdłuż krzywej.................. 237 § 4. Funkcja analityczna........................... 238 § 5, Odwrócenie funkcji analitycznej.................... 244 § 6. Funkcje analityczne dowolnie przedłużalne w obszarze.................... 246 § 7. Twierdzenie Poincarégo-Volterry............................. 249 § 8. Funkcja analityczna jako przestrzeń abstrakcyjna.................... 250 § 9. Funkcje analityczne w otoczeniu pierścieniowym punktu................ 251 § 10. Funkcja analityczna w otoczeniu pierścieniowym jako przestrzeń abstrakcyjna............... 255 § 11. Punkty krytyczne.............................. 256 § 12. Punkty krytyczne algebraiczne.......................... 258 § 13. Twierdzenie pomocnicze algebry......................... 259 § 14. Funkcje o punktach krytycznych algebraicznych............ 261 § 15. Funkcje algebraiczne............................ 265 § 16. Powierzchnie Riemanna.......................... 267 ROZDZIAŁ II. FUNKCJE CAŁKOWITE § 1. Iloczyny nieskończone....................... 275 § 2. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie funkcyj całkowitych na iloczyny............. 283 § 3. Twierdzenie Mittag-Lefflera o rozkładzie funkcyj meromorficznych na ułamki proste............... 289 § 4. Metoda Cauchy'ego rozwijania funkcyj meromorficznych na ułamki proste.............. 294 § 5. Przykłady rozwinięć funkcyj całkowitych i meromorficznych................ 297 § 6. Rząd funkcji całkowitej.................... 306 § 7. Zależność rzędu funkcji całkowitej od spółczynników jej rozwinięcia na szereg Taylora......... 311 § 8. Wykładnik zbieżności pierwiastków funkcji całkowitej...................... 314 § 9. Iloczyn kanoniczny...................... 316 § 10. Twierdzenie Hadamarda.................... 318 § 11. Twierdzenie Borela o pierwiastkach funkcyj całkowitych................................ 324 § 12. Małe twierdzenie Picarda........................ 326 § 13. Twierdzenie Schottky'ego. Twierdzenie Montela. Wielkie twierdzenie Picarda........... 331 § 14. Twierdzenie Landau'a................ 338 ROZDZIAŁ VIII. FUNKCJE ELIPTYCZNE § 1. Uwagi ogólne o funkcjach okresowych............ 341 § 2. Rozwinięcie funkcji okresowej w szereg Fouriera............ 345 § 3. Twierdzenia ogólne o funkcjach eliptycznych.............. 348 § 4. Funkcja ρ(z)................ 353 § 5. Równanie różniczkowe funkcji ρ(z)..................... 356 § 6. Funkcje ζ(z) i σ(z)........................ 359 § 7. Budowanie funkcyj eliptycznych przy pomocy funkcji σ(z)............... 362 § 8. Wyrażanie funkcyj eliptycznych przez funkcje ζ(z) i ρ(z)........... 364 § 9. Twierdzenie algebraiczne o dodawaniu dla funkcji ρ(z)................. 368 § 10. Związki algebraiczne między funkcjami eliptycznymi................ 369 § 11. Funkcja modułowa J(τ)............................ 370 § 12. Dalsze własności funkcji J(τ).......................... 375 § 13. Rozwiązanie układu równań $g_2(ω,ω') = a, g_3(ω,ω') = b$............ 384 § 14. Całki eliptyczne.......................... 385 ROZDZIAŁ IX. SZEREGI DIRICHLETA § 1. Funkcja Γ(s)........................ 393 § 2. Funkcja B(p,q)..................... 398 § 3. Wzory Hankela na funkcję Γ(s)................... 399 § 4. Wzór Stirlinga............................... 402 § 5. Funkcja ζ(s) Riemanna....................... 405 § 6. Równanie funkcyjne funkcji ζ(s)................ 409 § 7. Pierwiastki funkcji ζ(s)...................... 410 § 8. Szeregi Dirichleta............................. 412 SKOROWIDZ NAZW....................... 421 SKOROWIDZ NAZWISK......................... 426 SKOROWIDZ ZNAKÓW............................... 427
10
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Sur les projections d'un ensemble fermé

60%
Mazurkiewicz S., Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1926
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tom 8
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nr 1
109-113
FR
Le but de cette note est de donner un exemple d'un ensemble plan, ferme F jouissant de la propriété suivante: la projection de F sur l'axe des abscisses constitue un segment et sur toute autre droite passant par l'origine est un ensemble de mesure nulle.
11
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Sur la dérivabilité des fonctions monotones

60%
Rajchman A., Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1923
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tom 4
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nr 1
204-213
FR
Le but de cette note est de donner une démonstration simple et élémentaire au i • téorème de Lebesgue, d'après lequel toute fonction monotone est presque partout dérivable; • théorème de Fubini, d'après lequel une série convergente de fonctions non décroissantes peut être presque partout différentiée terme à terme.
12
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Sur les faisceaux des tangentes à une courbe

60%
Saks S., Zygmund A.
Fundamenta Mathematicae
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1924
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tom 6
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nr 1
117-121
FR
Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Une courbe C étant donnée dans le plan, tout faisceau F des droites tangents (de l'un ou des deux cotes) à cette courbe est de mesure nulle, sauf peut-être, le cas où le sommet du faisceau se trouve sur la courbe envisagée.
13
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Sur les fonctionnelles de M. Banach et leur application aux développements des fonctions

47%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1927
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tom 10
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nr 1
186-196
14
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TRAVAUX sur L'ANALYSE FONCTIONELLE avec l'article de A. Pełczyński sur la théorie des espaces de Banach Stefan Banach, Ouevres Volume II

43%
Banach S., Bessaga C., Pełczyński A., Steinhaus H., Saks S., Mazur S., Kuratowski K.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
FR
comité de rédaction: Czesław Bessaga, Stanisław mazur, Władysław Orlicz, Aleksander Pełczyński, Stefan Rolewicz, Wiesław Żelazko Front page of Volume II, p.1-1 Tables des Matières, p.1-4 Préface, p.5-5 Publications de Stefan Banach, p.7-11 S. Banach: Front page and preface to "THÉORIE DES OPÉRATIONS LINÉAIRES" (MONOGRAFIE MATEMATYCZNE V.1), p.13-18 S. Banach: THÉORIE DES OPÉRATIONS LINÉAIRES (MONOGRAFIE MATEMATYCZNE T.1), p.19-222 C. Bessaga, A. Pełczyński: SOME ASPECTS OF THE PRESENT THEORY OF BANACH SPACES, p.223-304 S. Banach: SUR LES OPÉRATIONS DANS LES ENSEMBLES ABSTRAITS ET LEUR APPLICATION AUX ÉQUATIONS INTÉGRALES, p.305-348 S. Banach: SUR LE PROLONGEMENT DE CERTAINES FONCTIONNELLES, p.349-350 S. Banach: SUR LA CONVERGENCE PRESQUE PARTOUT DE FONCTIONNELLES LINÉAIRES, p.355-364 S. Banach, H. Steinhaus: SUR LE PRINCIPE DE LA CONDENSATION DE SINGULARITÉS, p.365-374 S. Banach: SUR LES FONCTIONNELLES LINÉAIRES, p.375-380 S. Banach: SUR LES FONCTIONNELLES LINÉAIRES II, p.381-395 S. Banach, S. Saks: SUR LA CONVERGENCE FORTE DANS LE CHAMP LP, p.396-401 S. Banach: ÜBER METRISCHE GRUPPEN, p.402-411 S. Banach, S. Mazur: EINE BEMERKUNG ÜBER DIE KONVERGENZMENGEN VON FOLGEN LINEARER OPERATIONEN, p.412-415 S. Banach, C. Kuratowski: SUR LA STRUCTURE DES ENSEMBLES LINÉAIRES, p.416-419 S. Banach, S. Mazur: ZUR THEORIE DER LINEAREN DIMENSION, p.420-430 S. Banach, S. Mazur: SUR LA DIMENSION LINÉAIRE DES ESPACES FONCTIONNELS, p.431-433 S. Banach: DIE THEORIE DER OPERATIONEN UND IHRE BEDEUTUNG FÜR DIE ANALYSIS, p.434-441 S. Banach: ÜBER HOMOGENE POLYNOME IN (L2), p.442-449 S. Banach: ÜBER DAS „LOI SUPRÊME" VON J. HOENE-WROŃSKI, p.450-457 S. Banach: SUR LA DIVERGENCE DES INTERPOLATIONS, p.458-464 S. Banach: REMARQUES SUR LES GROUPES ET LES CORPS MÉTRIQUES (RÉDIGÉ D'APRÈS UNE NOTICE POSTHUME PAR S. HARTMAN), p.465-468 Tables des Matières du Volume I, p.469-470
15
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Sur les fonctions absolument continues des fonctions absolument continues

42%
Banach S., Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1928
|
tom 11
|
nr 1
113-116
16
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Sur la dérivation des fonctions dans des ensembles dénombrables

42%
Eilenberg S., Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1935
|
tom 25
|
nr 1
264-266
17
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On the functions of Besicovitch in the space of continuous functions

42%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1932
|
tom 19
|
nr 1
211-219
18
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Remark on the differentiability of the Lebesgue indefinite integral

42%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
|
1934
|
tom 22
|
nr 1
257-261
19
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Sur un ensemble non mesurable, jouissant de la propriété de Baire

42%
Saks S.
Fundamenta Mathematicae
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1928
|
tom 11
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nr 1
277
20
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TRAVAUX sur LES FONCTIONS RÉELLES et sur LES SÉRIES ORTHOGONALES. Stefan Banach, Oeuvres volume I

38%
Banach S., Hartman S., Marczewski E., Steinhaus H., Ruziewicz S., Tarski A., Saks S., Kuratowski K., Auerbach H., Mazur S.
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
FR
Comité de rédaction: A. Alexiewicz, M. Altman, S. Hartman, E. Marczewski, S. Mazur, W. Orlicz, R. Sikorski et H. Steinhaus Front Page of Volume I, p.1-4 Tables des Matières, p.5-7 Préface, p.9-10 Stefan Banach (30. III. 1892 - 31. VIII. 1945), p.11-12 H. Steinhaus: STEFAN BANACH, p.13-22 Publications de Stefan Banach, p.23-30 S. Banach, H. Steinhaus: SUR LA CONVERGENCE EN MOYENNE DE SÉRIES DE FOURIER, p.31-39 S. Banach: SUR LA VALEUR MOYENNE DES FONCTIONS ORTHOGONALES, p.40-46 S. Banach: SUR L'ÉQUATION FONCTIONNELLE f(x+y) = f(x)+f(y), p.47-48 S. Banach: SUR LES ENSEMBLES DE POINTS OÙ LA DÉRIVÉE EST INFINIE, p.49-50 S. Banach, S. Ruziewicz: SUR LES SOLUTIONS D'UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE DE J. CL. MAXWELL, p.51-57 S. Banach: SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES DES FONCTIONS MESURABLES, p.58-62 S. Banach: AN EXAMPLE OF AN ORTHOGONAL DEVELOPMENT WHOSE SUM IS EVERYWHERE DIFFERENT FROM THE DEVELOPED FUNCTION, p.63-65 S. Banach: SUR LE PROBLÈME DE LA MESURE, p.66-89 S. Banach: SUR LE THÉORÈME DE M. VITALI, p.90-95 S. Banach: SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS D'ENSEMBLE, p.96-113 S. Banach: UN THÉORÈME SUR LES TRANSFORMATIONS BIUNIVOQUES, p.114-117 S. Banach, A. Tarski: SUR LA DÉCOMPOSITION DES ENSEMBLES DE POINTS EN PARTIES RESPECTIVEMENT CONGRUENTES, p.118-148 S. Banach: SUR LES LIGNES RECTIFIABLES ET LES SURFACES DONT L'AIRE EST FINIE, p.149-159 S. Banach: SUR UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DES FONCTIONS ORTHOGONALES, p.160-162 S. Banach: SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS CONTINUES, p.163-168 S. Banach: SUR CERTAINS ENSEMBLES DE FONCTIONS CONDUISANT AUX ÉQUATIONS PARTIELLES DU SECOND ORDRE, p.169-177 S. Banach, S. Saks: SUR LES FONCTIONS ABSOLUMENT CONTINUES DES FONCTIONS ABSOLUMENT CONTINUES, p.178-181 S. Banach, C. Kuratowski: SUR UNE GÉNÉRALISATION DU PROBLÈME DE LA MESURE, p.182-186 S. Banach: ÜBER EINIGE EIGENSCHAFTEN DER LAKUNÄREN TRIGONOMETRISCHEN REIHEN, p.187-198 S. Banach: BEMERKUNG ZU DER ARBEIT "ÜBER EINIGE EIGENSCHAFTEN DER LAKUNÄREN TRIGONOMETRISCHEN REIHEN", p.199-199 S. Banach: ÜBER ADDITIVE MAßFUNKTIONEN IN ABSTRAKTEN MENGEN, p.200-203 S. Banach: THÉORÈME SUR LES ENSEMBLES DE PREMIÈRE CATÉGORIE, p.204-206 S. Banach: ÜBER ANALYTISCH DARSTELLBARE OPERATIONEN IN ABSTRAKTEN RÄUMEN, p.207-217 S. Banach: ÜBER DIE BAIRE'SCHE KATEGORIE GEWISSER FUNKTIONENMENGEN, p.218-222 S. Banach, H. Auerbach: ÜBER DIE HÖLDERSCHE BEDINGUNG, p.223-227 S. Banach: SUR LES TRANSFORMATIONS BIUNIVOQUES, p.228-233 S. Banach: SUR LES SÉRIES LACUNAIRES, p.234-238 S. Banach: SUR LA MESURE DE HAAR, p.239-245 S. Banach, S. Mazur: ÜBER MEHRDEUTIGE STETIGE ABBILDUNGEN, p.246-249 S. Banach: SUR UN THÉORÈME DE M. SIERPIŃSKI, p.250-251 S. Banach: THE LEBESGUE INTEGRAL IN ABSTRACT SPACES, p.252-261 S. Banach: SUR LA DIVERGENCE DES SÉRIES ORTHOGONALES, p.262-274 S. Banach: ON MEASURES IN INDEPENDENT FIELDS, p.275-290 S. Banach: SUR LES SUITES D'ENSEMBLES EXCLUANT L'EXISTENCE D'UNE MESURE, p.291-295 S. Banach: SUR LA REPRÉSENTATION DES FONCTIONS INDÉPENDANTES À L’AIDE DES FONCTIONS DE VARIABLES DISTINCTES, p.296-310 Commentaires, p.311-367 Bibliographie aux commentaires, p.368-382 Errata, p.383-383
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