TABLE DES MATIÉRES PRÉFACE À LA PREMIÈRE ÉDITION DU VOLUME I..................... V PRÉFACE À LA DEUXIÈME ÉDITION DU VOLUME I......................... X INTRODUCTION § 1. Opérations de la Logique et de la Théorie des ensembles............ 1 § 2. Produit cartésien.............. 12 § 3. Fonctions................... 16 PREMIER CHAPITRE. Notions fondamentales. Calcul topol ogique § 4. Système d'axiomes. Règles de calcul................... 20 § 5. Ensembles fermés, ensembles ouverts................... 24 § 6. Frontière, intérieur d'ensemble................... 29 § 7. Entourage d'un point. Localisation des propriétés................... 32 § 8. Ensembles denses, frontières, non-denses................... 36 § 9. Points d'accumulation................... 44 § 10. Ensembles de I-e catégorie................... 48 § 11. Propriété de Baire................... 54 § 12. Séries alternées d'ensembles fermés................... 64 § 13. Continuité. Homéomorphie................... 72 DEUXIÈME CHAPITRE. Espaces métrisables et séparables A. Introduction de la limite, de la distance et des coordonnées § 14. Espaces ℒ* (pourvus de la notion de limite)................... 83 § 15. Espaces métriques................... 99 § 16. Axiome IV (de séparation)................... 123 § 17. Axiome V (de la base) B. Problèmes de la puissance................... 131 § 18. Puissance de l'espace. Points de condensation................... 140 § 19. Puissance de diverses familles d'ensembles C. Problèmes de la dimension................... 143 § 20. Définitions. Propriétés générales................... 162 § 21. Espace de dimension 0................... 166 § 22. Espace de dimension n................... 175 § 23. Simplexes, complexes, polytopes D. Produits cartésiens. Suites d'ensembles................... 189 § 24. Produits cartésiens dénombrables................... 218 § 24a. Produits cartésiens.................... 231 § 25. Limites inférieure et supérieure E. Ensembles boreliens. Fonctions mesurables B................... 241 § 26. Ensembles boreliens................... 250 § 27. Fonctions mesurables B................... 280 § 28. Fonctions jouissant de la propriété de Baire................... 306 TROISIÈME CHAPITRE III. Espaces complets § 29. Définition, Généralités................... 312 § 30. Suites d'ensembles. Théorème de Baire................... 318 § 31. Prolongement des fonctions................... 328 § 32. Rapports des espaces complets séparables à l'ensamble N des nombres irrationnels................... 344 § 33 Ensembles boreliens dans les espaces complets séparables................... 353 § 34. Ensembles projectifs................... 360 § 35. Ensembles analytiques................... 386 § 36. Espaces totalement imparfaits et autres espaces singuliers................... 421 INDEX TERMINOLOGIQUE................... 441 AUTEURS CITÉS................... 444
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SPIS RZECZY PRZEDMOWA ROZDZIAŁ I Ciągi i szeregi §1. Wstęp §2. Ciągi nieskończone............. 7 §3. Szeregi nieskończone........... 19 ROZDZIAŁ II. Funkcje §4. Funkcje i ich granice.......... 59 §5. Funkcje ciągłe................. 76 §6. Ciągi i szeregi funkcji........ 87 ROZDZIAŁ III. Rachunek różniczkowy jednej zmiennej §7. Pochodne rzędu pierwszego............. 97 §8. Pochodne rzędów wyższych.............. 129 ROZDZIAŁ IV. Rachunek całkowy jednej zmiennej §9. Całki nieoznaczone.............. 145 §10. Całki oznaczone................ 164 §11. Całki niewłaściwe i ich związek z szeregami nieskończonymi....... 201 SKOROWIDZ NAZW............................ 233
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L'auteur prouve dans cette note que l'ensemble de tous les nombres de dimensions (on dit, d'apres monsieur Fréchet que les ensembles E et H ont le même nombre de dimension, si E est homéomorphe d'un sous - ensemble de H et inversement) d'ensembles situes dans un espace euclidien a la meme puissance que la famille de tous les ensembles de nombres reels. Cette puissance est donc 2^(c), c designant la puissance du continu.
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Le but de cette note est d'introduire une définition d'un ensemble fini et de démontrer son équivalence avec la définition donnée par Wacław Sierpiński.
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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Tout continu borné de Jordan contient deux points au moins qui ne le coupent pas (séparément). Théorème: Chaque continu non-borné de Jordan contient un continu borné qui le coupe. Théorème: Si aucun sous-continu d'un continu borné C ne coupe C, C est une courbe simple fermée.
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La plupart de théorèmes connus sur les limites des fonctions continues et sur les fonctions ponctuellement discontinues concernent le cas où l'argument x admet comme valeurs les éléments d'un ensemble parfait ou, plus généralement, d'un ensemble qui en aucun point n'est de première catégorie sur lui-même. Le but de cette note est d'étudier le cas général où les valeurs de x forment un ensemble arbitraire A de points.
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Le but de cette note est de donner un exemple d'un ensemble homogène qui ne vérifie pas la propriété suivante: Condition: Soit E un ensemble homogène., a et b étant deux points quelconques de E, il existe une transformation biunivoque et bicontinue de l'ensemble E en lui-même, qui transforme a en b et b en a simultanément. et d'envisager une classe d'ensemble homogènes qui remplissent la condition ci-dessus.
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1 désigne l'espace euclidien à n dimensions. A étant un ensemble quelconque de points de cet espace, 1-A désignent l'ensemble complémentaire de A. Ā se compose des points de A et de leurs points limites. On montre aisément que les énoncés suivantes subsistent: I bar(A+B) = Ā + bar(B) II A ⊂ Ā III bar(0) = 0 IV bar(Ā) = Ā Cette note est consacrée à l'analyse de ces propositions et de leurs conséquences.
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Le but de cette note est de démontrer la solution de problèmes suivants, posés par Sierpiński: Lorsque un ensemble de points P est une image biunivoque et continue (mais pas nécessairment bicontinue) de l'ensemble Q et lorsque Q est une image biunivoque et continue de l'ensemble P, peut-on affirmer que les ensembles P et Q sont homéomorphes?
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Le but de cette note est de démontrer le théorèmes Théorème: Si l'on décompose un ensemble E de deux manières différentes: E =M+N, M × N =0 E=P+Q, P × Q = 0 et s'il existe une transformation biunivoque φ(x) de M en N, ansi qu'une transformation biunivoque ψ(x) de P en Q, alors les ensembles M et Q se décomposent en 4 parties disjointes de façon que: M =M_1+M_2+M_3+M_4, Q=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4, Q_1=M_1, Q_2=ψ(M_2), Q_3=φ(M_3), Q_4=ψ φ(M_4)
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Définition: Ont appelle rayon tout ensemble fermeé homéomorphe à demi-droite (c'est à dire, à ensemble des nombres x ≥ 0). L'image du sommet de la demi-droite est le sommet du rayon. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Tout point d'une ligne de Jordan non-bornée est le sommet d'un rayon contenu dans cette ligne. Théorème: Pour qu'un ensemble E soit un rayon, il faut et il suffit qu'il soit une ligne de Jordan non-borné contenant un point p qui n'est situé sur aucun vrai sous-continu non-borné de E. Théorème: Pour qu'un ensemble E soit un rayon, il faut et il suffit qu'il soit un continu non-borné contenant un point p qui n'est situé sur aucun vrai sous-ensemble connexe non-borné de E.
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Le but de cette note est de donner une esquisse d'une théorie des continus irréductibles, en étudiant quelques problèmes fondamentaux qui s'y rattachent.
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Le but de cette note est de résoudre le problème: Problème: Dans une note "Sur l'équivalence de trois propriétés des ensembles abstraits" Sierpiński s'occupe des relations entre les propriétés suivantes de classes (ℒ): α) toute infinité bien ordonnée d'ensembles fermes croissants est dénombrable; β) toute infinité bien ordonnée d'ensembles fermes décroissants est dénombrable; γ) tout ensemble infini E d'éléments de la classe considérée contient un sous-ensemble dénombrable D dense en E; δ) tout ensemble clairsemé est fini ou dénombrable. Sierpiński démontra que (δ) entraîne (β), et que (γ) entraîne (α). Il établit aussi pour les classes de fonctions intégrables au sens de Lebesgue les implications inverses: (β) entraîe (γ) et (α) entraîne (γ). Cependant le problème de ces deux dernières implications pour les classes (ℒ) en général est resté résolu.
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Le but de cette note est d'obtenir une définition des lignes de Jordan purement topologique, basée sur certaines propriétés caractéristiques de ces ensembles.
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