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1
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On the Łojasiewicz exponent at infinity of real polynomials

100%
Vui H., Son P.
Annales Polonici Mathematici
|
2008
|
tom 94
|
nr 3
197-208
EN
Let f: ℝⁿ → ℝ be a nonconstant polynomial function. Using the information from the "curve of tangency" of f, we provide a method to determine the Łojasiewicz exponent at infinity of f. As a corollary, we give a computational criterion to decide if the Łojasiewicz exponent at infinity is finite or not. Then we obtain a formula to calculate the set of points at which the polynomial f is not proper. Moreover, a relation between the Łojasiewicz exponent at infinity of f and the problem of computing the global optimum of f is also established.
2
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On the Łojasiewicz exponent near the fibre of polynomial mappings

100%
Vui H., Duc N.
Annales Polonici Mathematici
|
2008
|
tom 94
|
nr 1
43-52
EN
We give the formula expressing the Łojasiewicz exponent near the fibre of polynomial mappings in two variables in terms of the Puiseux expansions at infinity of the fibre.
3
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Łojasiewicz exponent of the gradient near the fiber

100%
Vui H., Duc N.
Annales Polonici Mathematici
|
2009
|
tom 96
|
nr 3
197-207
EN
It is well-known that if r is a rational number from [-1,0), then there is no polynomial f in two complex variables and a fiber $f^{-1}(t₀)$ such that r is the Łojasiewicz exponent of grad(f) near the fiber $f^{-1}(t₀)$. We show that this does not remain true if we consider polynomials in real variables. More exactly, we give examples showing that any rational number can be the Łojasiewicz exponent near the fiber of the gradient of some polynomial in real variables. The second main result of the paper is the formula computing the Łojasiewicz exponent of the gradient near a fiber of a polynomial in two real variables. In particular, this gives, in the case of two real variables, a way to tell whether a given value is an asymptotic critical value or not.
4
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Sur le nombre de Łojasiewicz à l'infini d'un polynôme

100%
Cassou-Noguès P., Vui H.
Annales Polonici Mathematici
|
1995
|
tom 62
|
nr 1
23-44
FR
Résumé. Soit f un polynôme à deux indéterminées. On appelle nombre de Łojasiewicz à l'infini de f le nombre de Łojasiewicz à l'infini de son application gradient. Dans cet article nous montrons tout d'abord que l'on peut calculer le nombre de Łojasiewicz d'un polynôme à partir des diagrammes de Eisenbud et Neumann de toutes les courbes f(x,y) = t. Ensuite nous montrons que l'on peut définir un nombre de Łojasiewicz intrinsèque en prenant le maximum des nombres de Łojasiewicz de f ∘ ϕ si f est bon et le minimum des nombres de Łojasiewicz de f ∘ ϕ sinon, lorsque ϕ parcourt les automorphismes de ℂ². On donne un exemple où l'on ne peut pas trouver un automorphisme de ℂ² qui réalise à la fois le degré, le nombre de points à l'infini et le nombre de Łojasiewicz intrinsèques. On montre que si f est non dégénéré pour son polygone de Newton, ou satisfait les conditions de Oka, alors le degré, le nombre de points à l'infini et le nombre de Łojasiewicz sont le degré, le nombre de points à l'infini et le nombre de Łojasiewicz intrinsèques.
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