Let f: ℝⁿ → ℝ be a C² semialgebraic function and let c be an asymptotic critical value of f. We prove that there exists a smallest rational number $ϱ_c ≤ 1$ such that |x|·|∇f| and $|f(x) - c|^{ϱ_c}$ are separated at infinity. If c is a regular value and $ϱ_c < 1$, then f is a locally trivial fibration over c, and the trivialisation is realised by the flow of the gradient field of f.
2
Dostęp do pełnego tekstu na zewnętrznej witrynie WWW
Let f: ℝⁿ → ℝ be a polynomial function of degree d with f(0) = 0 and ∇f(0) = 0. Łojasiewicz's gradient inequality states that there exist C > 0 and ϱ ∈ (0,1) such that $|∇f| ≥ C|f|^{ϱ}$ in a neighbourhood of the origin. We prove that the smallest such exponent ϱ is not greater than $1 - R(n,d)^{-1}$ with $R(n,d) = d(3d-3)^{n-1}$.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.