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Fonctions généralisées périodiques et applications

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Valmorin V.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk

TABLE DES MATIÈRES Introduction........................................................................................................................6 I. Distributions et fonctions généralisées sur 𝓣ⁿ.................................................................9 1. Fonctions et distributions...............................................................................................9 1.1.Définition du tore 𝓣ⁿ....................................................................................................9 1.2.Fonctions définies sur 𝓣ⁿ.........................................................................................10 1.3.Distributions sur 𝓣ⁿ..................................................................................................12 1.4.Séries de Fourier......................................................................................................14 2. L'algèbre 𝓖(𝓣ⁿ) des fonctions généralisées périodiques...........................................15 2.1.Algèbre des fonctions généralisées sur $ℝ^m$.......................................................15 2.2.Définition de l'algèbre 𝓖(𝓣ⁿ)....................................................................................16 2.3.Propriétés de 𝓖.......................................................................................................16 2.4.Fonctions réelles généralisées...............................................................................18 2.5.Fonctions généralisées périodiques sur ℝⁿ............................................................18 2.6.Nombres complexes généralisés.............................................................................18 2.7.Relation d'association dans 𝓒̅ et dans 𝓖.................................................................19 2.8.Valeurs ponctuelles d'un élément de 𝓖...................................................................21 3. Intégration et coefficients de Fourier........................................................................23 3.1.Intégration des fonctions généralisées...................................................................23 3.2.Convolution dans 𝓖.................................................................................................24 3.3.Coefficients de Fourier............................................................................................25 3.4.Suites à croissance lente dans $𝓒^ℤⁿ$...................................................................25 3.5.Problèmes de régularité globale..............................................................................27 3.6.Exemples: fonction de $𝓖_π(ℝ)$ associée à v.p.cot x, équation des ondes............31 4. Restrictions des éléments de 𝓖..................................................................................34 4.1.Restriction à un sous-groupe...................................................................................34 4.2.Restriction à un ouvert de 𝓣ⁿ..................................................................................37 4.3.Restriction à un fermé de 𝓣ⁿ...................................................................................39 II. Distributions et fonctions généralisées sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$............................................40 5. Espaces fonctionnels sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$......................................................................40 5.1.Définitions...............................................................................................................40 5.2.Coefficients de Fourier partiels................................................................................41 5.3.Fonctions de classe $C^k$ sur un ouvert de $ℝ^m × 𝓣ⁿ$.......................................42 5.4.Convolution dans $𝓔(ℝ^m × 𝓣ⁿ) ∩ L¹(ℝ^m × 𝓣ⁿ)$...................................................42 6. Distributions sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$.....................................................................................43 6.1.Définitions................................................................................................................43 6.2.Restrictions et support d'une distribution.................................................................43 6.3.Exemple de suite tendant vers δ₀ ⊗ δ₁.....................................................................43 6.4.Convolution d'une distribution et d'une fonction.......................................................43 6.5.Structure locale des distributions.............................................................................44 7. Fonctions généralisées sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$....................................................................48 7.1.Notations et définitions.............................................................................................48 7.2.Injections de $𝓔^{m,n}$ et de $𝓓 ^{'m,n}$ dans $𝓖^{m,n}$......................................49 7.3.Coefficients de Fourier partiels.................................................................................52 7.4. Fonctions généralisées sur Ω × 𝓣ⁿ et sur Ω̅ × 𝓣ⁿ...................................................54 III. Exemples de problèmes différentiels..........................................................................55 8. Exemples de problèmes différentiels.........................................................................55 8.1.Equations des ondes et de la chaleur.....................................................................55 8.2.Exemple d'équation différentielle ordinaire..............................................................58 8.3.Exemple d'E.D.P. dans 𝓖({ℝ × 𝓣ⁿ)...........................................................................62 8.4.Problème de Goursat à données généralisées périodiques....................................66 Bibliographie.................................................................................................................74

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1 Valmorin V.

1 1997

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