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1

Riesz meets Sobolev

100%

Coulhon T., Sikora A.

Colloquium Mathematicum

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2010

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tom 118

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nr 2

685-704

EN

We show that the $L^{p}$ boundedness, p > 2, of the Riesz transform on a complete non-compact Riemannian manifold with upper and lower Gaussian heat kernel estimates is equivalent to a certain form of Sobolev inequality. We also characterize in such terms the heat kernel gradient upper estimate on manifolds with polynomial growth.

2

Absence de principe du maximum pour certaines équations paraboliques complexes

81%

Auscher P., Coulhon T., Tchamitchian P.

Colloquium Mathematicum

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1996

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tom 71

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nr 1

87-95

EN

Le but de cette note est de montrer que le principe du maximum, même dans une version affaiblie, n'est pas vérifıé pour la classe des opérateurs paraboliques du type $d/dt +L$, où L est un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2 sous forme divergence à coefficients complexes mesurables et bornés en dimension supérieure ou égale à 5. Le principe de démonstration repose sur un résultat abstrait de la théorie des semi-groupes permettant d'utiliser le contre-exemple présenté dans [MNP] à la régularité des solutions faibles pour cette classe d'opérateurs elliptiques.

3

Littlewood-Paley-Stein functions on complete Riemannian manifolds for 1 ≤ p ≤ 2

81%

Coulhon T., Duong X., Li X.

Studia Mathematica

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2003

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tom 154

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nr 1

37-57

EN

We study the weak type (1,1) and the $L^{p}$-boundedness, 1 < p ≤ 2, of the so-called vertical (i.e. involving space derivatives) Littlewood-Paley-Stein functions 𝒢 and ℋ respectively associated with the Poisson semigroup and the heat semigroup on a complete Riemannian manifold M. Without any assumption on M, we observe that 𝒢 and ℋ are bounded in $L^{p}$, 1 < p ≤ 2. We also consider modified Littlewood-Paley-Stein functions that take into account the positivity of the bottom of the spectrum. Assuming that M satisfies the doubling volume property and an optimal on-diagonal heat kernel estimate, we prove that 𝒢 and ℋ (as well as the corresponding horizontal functions, i.e. involving time derivatives) are of weak type (1,1). Finally, we apply our methods to divergence form operators on arbitrary domains of ℝⁿ.

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1 Studia Mathematica

3 Coulhon T.

1 Auscher P.

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1 Li X.

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1 Tchamitchian P.

1 2010

1 2003

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Riesz meets Sobolev

Absence de principe du maximum pour certaines équations paraboliques complexes

Littlewood-Paley-Stein functions on complete Riemannian manifolds for 1 ≤ p ≤ 2