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PRÉFACE............................................................................................... III
ERRATA................................................................................................ VIII

INTRODUCTION. A. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes
§ 1. Quelques théorèmes de la théorie de l'intégrale de Lebesgue...................................... 1
§ 2. Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable............................... 2
§ 3. La convergence asymptotique...................................................................... 3
§ 4. La convergence en moyenne........................................................................ 4
§ 5. L'intégrale de Stieltjes......................................................................... 4
§ 6. Le théorème de Lebesgue.......................................................................... 7

B. Ensembles et opération mesurables (B) dans les espaces métriques
§ 7. Espaces métriques................................................................................ 8
§ 8. Ensembles dans les espaces métriques............................................................. 12
§ 9. Opérations dans les espaces métriques............................................................ 15

CHAPITRE I. Groupes
§ 1. Définition des espaces du type (G)............................................................... 20
§ 2. Propriétés des sous-groupes...................................................................... 21
§ 3. Opérations additives et linéaires................................................................ 23
§ 4. Un théorème sur la condensation des singularités................................................. 24

CHAPITRE II. Espaces vectoriels généraux
§ 1. Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels..................................... 26
§ 2. Extension des fonctionnelles additives et homogènes.............................................. 27
§ 3. Applications: généralisation des notions d'intégrale, de mesure et de limite..................... 29

CHAPITRE III. Espaces du type (F)
§ 1. Définition et préliminaires...................................................................... 35
§ 2. Opérations homogènes............................................................................. 36
§ 3. Séries d'éléments. Inversion des opérations linéaires............................................ 37
§ 4. Fonctions continues sans dérivée................................................................. 43
§ 5. La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles................ 44
§ 6. Systèmes d'équations linéaires a une infinité d'inconnues........................................ 47
§ 7. Applications de l'espace (s)..................................................................... 50

CHAPITRE IV. Espaces normes
§ 1. Définitions des espaces vectoriels normes et des espaces du type (B)............................. 53
§ 2. Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires...................... 54
§ 3. Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d'éléments............................................ 57
§ 4. Forme générale des fonctionnelles linéaires dans les espaces (C), (L(r)),
(c), (l(r)), (m) et dans les sous-espaces de (m)...................................................... 59
§ 5. Suites fermées et complètes dans les espaces (C), (L(r)), (c) et (l(r)).......................... 72
§ 6. Approximation des fonctions appartenant a (C) et (L(r)) par des combinaisons
linéaires de fonctions................................................................................ 73
§ 7. Le problème des moments.......................................................................... 74
§ 8. Conditions pour l'existence des solutions de certains systèmes d'équations
a une infinité d'inconnues............................................................................ 76

CHAPITRE V. Espaces du type (B)
§ 1. Opérations linéaires dans les espaces du type (B)................................................ 78
§ 2. Principe de condensation des singularités........................................................ 81
§ 3. Espaces du type (B) compacts..................................................................... 83
§ 4. Une propriété des espaces (L(r)), (c) et (l(r)).................................................. 84
§ 5. Espaces du type (B) formes de fonctions mesurables............................................... 86
§ 6. Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B)................. 88
§ 7. Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation................................................. 90

CHAPITRE VI. Opérations totalement continues et associées
§ 1. Opérations totalement continues.................................................................. 96
§ 2. Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers.................. 97
§ 3. Opérations conjuguées (associées)................................................................ 99
§ 4. Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.............. 101

CHAPITRE VII. Sites biorthogonales
§ 1. Définition et propriétés générales............................................................... 106
§ 2. Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers......................................... 108
§ 3. Bases dans les espaces du type (B)............................................................... 110
§ 4. Quelques applications a la théorie des développements orthogonaux................................ 112

CHAPITRE VIII. Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B)
§ 1. Préliminaires.................................................................................... 115
§ 2. Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 116
§ 3. Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires....................................... 118
§ 4. Convergence faible des fonctionnelles linéaires.................................................. 122
§ 5. Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables.. 123
§ 6. Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires définies
dans les espaces (C), (L(p)), (c) et .(l(p)).......................................................... 126
§ 7. Compacticité faible d'ensembles bornés dans certains espaces..................................... 130
§ 8. Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles
linéaires............................................................................................. 131

CHAPITRE IX. Suites faiblement convergentes d'éléments
§ 1. Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d'éléments.......................... 133
§ 2. Convergence faible des suites d'éléments dans les espaces (C), (L(p)), (c) et (l(p))............. 134
§ 3. Relation entre la convergence faible et forte dans les espaces (L(P)) et (l(p)) pour p > 1....... 139
§ 4. Espaces faiblement complets...................................................................... 140
§ 5. Un théorème sur la convergence faible d'éléments................................................. 143

CHAPITRE X. Équations fonctionnelles linéaires
§ 1. Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles................. 145
§ 2. La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues................................. 151
§ 3. Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires............................... 157
§ 4. Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues............... 159
§ 5. Équations intégrales de Fredholm................................................................. 161
§ 6, Équations intégrales de Volterra................................................................. 162
§ 7. Équations intégrales symétriques................................................................. 163

CHAPITRE XI. Isométrie, équivalence, isomorphie
§ 1. Isométrie........................................................................................ 165
§ 2. Les espaces $(L^2)$ et $(l^2)$................................................................... 165
§ 3. Transformations isométriques des espaces vectoriels normés....................................... 166
§ 4. Espace des fonctions réelles continues........................................................... 168
§ 5. Rotations........................................................................................ 173
§ 6. Isomorphie et équivalence........................................................................ 180
§ 7. Produits des espaces du type (B)................................................................. 181
§ 8. Espace (C) comme l'espace universel.............................................................. 185
§ 9. Espaces conjugués................................................................................ 188

CHAPITRE XII. Dimension linéaire.
§ 1. Définitions....................................................................................... 193
§ 2. Dimension linéaire des espaces (c) et (l(p)) ou p ≥ 1............................................. 194
§ 3. Dimension linéaire des espaces (L(p)) et (l(p)) ou p > l.......................................... 197

ANNEXE. Convergence faible dans les espaces du type (B).
§ 1. Les dérives faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires..................................... 208
§ 2. Convergence faible des éléments................................................................... 217
REMARQUES.............................................................................................. 226