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TABLE DES MATIÈRES
Introduction........................................................................................................................6
I. Distributions et fonctions généralisées sur 𝓣ⁿ.................................................................9
1. Fonctions et distributions...............................................................................................9
1.1.Définition du tore 𝓣ⁿ....................................................................................................9
1.2.Fonctions définies sur 𝓣ⁿ.........................................................................................10
1.3.Distributions sur 𝓣ⁿ..................................................................................................12
1.4.Séries de Fourier......................................................................................................14
2. L'algèbre 𝓖(𝓣ⁿ) des fonctions généralisées périodiques...........................................15
2.1.Algèbre des fonctions généralisées sur $ℝ^m$.......................................................15
2.2.Définition de l'algèbre 𝓖(𝓣ⁿ)....................................................................................16
2.3.Propriétés de 𝓖.......................................................................................................16
2.4.Fonctions réelles généralisées...............................................................................18
2.5.Fonctions généralisées périodiques sur ℝⁿ............................................................18
2.6.Nombres complexes généralisés.............................................................................18
2.7.Relation d'association dans 𝓒̅ et dans 𝓖.................................................................19
2.8.Valeurs ponctuelles d'un élément de 𝓖...................................................................21
3. Intégration et coefficients de Fourier........................................................................23
3.1.Intégration des fonctions généralisées...................................................................23
3.2.Convolution dans 𝓖.................................................................................................24
3.3.Coefficients de Fourier............................................................................................25
3.4.Suites à croissance lente dans $𝓒^ℤⁿ$...................................................................25
3.5.Problèmes de régularité globale..............................................................................27
3.6.Exemples: fonction de $𝓖_π(ℝ)$ associée à v.p.cot x, équation des ondes............31
4. Restrictions des éléments de 𝓖..................................................................................34
4.1.Restriction à un sous-groupe...................................................................................34
4.2.Restriction à un ouvert de 𝓣ⁿ..................................................................................37
4.3.Restriction à un fermé de 𝓣ⁿ...................................................................................39
II. Distributions et fonctions généralisées sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$............................................40
5. Espaces fonctionnels sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$......................................................................40
5.1.Définitions...............................................................................................................40
5.2.Coefficients de Fourier partiels................................................................................41
5.3.Fonctions de classe $C^k$ sur un ouvert de $ℝ^m × 𝓣ⁿ$.......................................42
5.4.Convolution dans $𝓔(ℝ^m × 𝓣ⁿ) ∩ L¹(ℝ^m × 𝓣ⁿ)$...................................................42
6. Distributions sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$.....................................................................................43
6.1.Définitions................................................................................................................43
6.2.Restrictions et support d'une distribution.................................................................43
6.3.Exemple de suite tendant vers δ₀ ⊗ δ₁.....................................................................43
6.4.Convolution d'une distribution et d'une fonction.......................................................43
6.5.Structure locale des distributions.............................................................................44
7. Fonctions généralisées sur $ℝ^m × 𝓣ⁿ$....................................................................48
7.1.Notations et définitions.............................................................................................48
7.2.Injections de $𝓔^{m,n}$ et de $𝓓 ^{'m,n}$ dans $𝓖^{m,n}$......................................49
7.3.Coefficients de Fourier partiels.................................................................................52
7.4. Fonctions généralisées sur Ω × 𝓣ⁿ et sur Ω̅ × 𝓣ⁿ...................................................54
III. Exemples de problèmes différentiels..........................................................................55
8. Exemples de problèmes différentiels.........................................................................55
8.1.Equations des ondes et de la chaleur.....................................................................55
8.2.Exemple d'équation différentielle ordinaire..............................................................58
8.3.Exemple d'E.D.P. dans 𝓖({ℝ × 𝓣ⁿ)...........................................................................62
8.4.Problème de Goursat à données généralisées périodiques....................................66
Bibliographie.................................................................................................................74