Duration problem: basic concept and some extensions

Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych o znanym rozkładzie. n-ta obserwacja jest wartością pewnej statystyki pozycyjnej, powiedzmy s:n, gdzie s przyjmuje watości od 1 do n. W chwilach następujących po n-tej obserwacji może ona pozostać s:m lub zmieni swoją pozycję tak, iż stanie się statystyką pozycyjną r:m (gdzie m> n jest liczbą obserwacji). Zmiana rangi naszej obserwacji pośród wciąż powiększającego się zbioru wszystkich obserwacji jest zjawiskiem, które nie jest łatwo przewidzieć. Z pewnych względów jest to interesujący problem. Stawiamy zatem pytanie o moment pojawienia się obserwacji, której ranga się nie zmieni znacząco aż do czasu, gdy skończymy obserwować zjawisko. Można również postawić problem w następujący sposób: ''Który obserwowalny obiekt powinniśmy zatrzymać tak, aby posiadać obiekt dobrej jakości najdłużej jak to tylko możlwe?'' Pytanie to było rozważane przez Ferguson, Hardwick and Tamaki (1991) w problemie, który został nazwany  problem of duration, a który został tu nazywamy problemem okresu trwania.Niniejsza praca ma na celu uporządkowanie znanych do tej pory modeli problemu okresu trwania oraz prezentację kilku nowych rozszerzeń. Zabrane zostały wyniki z różnych prac na temat okresu trwania dla ekstremalnej obserwacji w przypadku bez-informacyjnym (nazywanym również modelem rangowym, no-information case) oraz w przypadku pełno-informacyjnym (full-information case). W przypadkach obserwacji nieekstremalnych najczęściej pojawiającym się modelem jest model dla pierwszej i/lub drugiej statystyki pozycyjnej. Model bez-informacyjny mówi o maksymalizacji okresu trwania dla pierwszego lub drugiego najlepszego obiektu. Idea ta została sformułowana przez Szajowski i Tamaki (2006). Przypadek pełno-informacyjny z pewnymi ograniczeniami został zaprezentowany przez Kurushima i Ano(2010).