Niech $\mathbf{\Phi }:X\to Y$ będzie liniową rodziną funkcji Lipschitzowskich. Załóżmy, że rodzina $\mathbf{\Phi }$ spełnia pewne dodatkowe warunki. Pod tymi założeniami pokazujemy następujące twierdzenie. Twierdzenie. Niech ${\mathrm{\Phi }}_x\in \mathbf{\Phi }$ będzie takie, że dla wszystkichl $x,y\in X$. $$||[{\mathrm{\Phi }}_x(y)-{\mathrm{\Phi }}_x(x)]-[f(y)-f(x)]|{|}_Y\le K(d_X(x,y){)}^{\alpha }.$$ Wtedy ${\mathrm{\Phi }}_x$ jest jednoznacznie określona z dokładnością do stałej i spełnia warunek Höldera z wykładnikiem $\alpha -1$ ze względu na $x$ w normie Lipschitzowskiej $||.|{|}_L$.