On spaces of double sequences generated by moduli of smoothness

ArticleOriginal scientific text

Title

Authors ¹

For a given

ϕ

-function

ϕ

and an element

x

from the space

X

of all real double sequences. We first introduce a sequential

ϕ

-modulus

ω_{ϕ}

. Next, for a given function

Ψ

, we define the spaces

X (Ψ)

and

X_{ρ}

generated by

ω_{ϕ}

. The purpose of this paper is to investigate properties of the spaces

X (Ψ)

and

X_{ρ}

.

Dla danej

ϕ

-funkcji

ϕ

oraz elementu

x = ((x)_{μ, ν})

z przestrzeni

X

ciągów rzeczywistych podwójnych, najpierw wprowadzony został ciągowy

ϕ

-moduł

ω_{ϕ}

wzorem

ω_{ϕ} (x; r, s) = sup_{m \geq r} sup_{n \geq s} \sum_{μ, ν = 0}^{\infty} ϕ (| (τ_{00} x)_{μ ν} - (τ_{m 0} x)_{μ ν} - (τ_{0 n} x)_{μ ν} + (τ_{m n} x)_{μ ν} |)

gdzie

τ_{μ ν}

oznacza

(m, n)

-translację ciągu

x \in X

. W dalszym ciągu dla danej funkcji

Ψ

zdefiniowane zostały przestrzenie

X (Ψ) = {x \in X : a_{r, s} Ψ (ω_{ϕ} (x; r, s)) \to 0 dla λ > 0 oraz (r, s \to \infty},

X_{ρ} = {x \in X : ρ (λ x) = sup_{r, s} a_{r, s} Ψ (ω_{ϕ} (x; r, s)) \to 0 gdy λ \to 0^{+}},

Druk wykonano z diapozytywów dostarczonych przez autorów.