Książka - szczegóły

CZĘŚĆ PIERWSZA: Liczby rzeczywiste i zespolone.

ROZDZIAŁ I. Przekroje i liczby niewymierne
§ 1. Przekroje zbioru liczb wymiernych....................... 1
§ 2. Luki. Liczby niewymierne; liczby rzeczywiste....................... 2
§ 3. Pojęcie liczby mniejszej i większej....................... 3
§ 4. Przechodniość znaku <....................... 4
§ 5. Gęstość zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych....................... 7
§ 6. Zamykanie liczby rzeczywistej między dwiema dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi....................... 8
§ 7. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych....................... 9
§ 8. Przekroje niewłaściwe....................... 12

ROZDZIAŁ II. Ciągi nieskończone i ich granice
§ 9. Ciągi nieskończone: przykłady....................... 13
§ 10. Granica górna i dolna ciągu. Granica ciągu. Ciągi posiadające granicę i ciągi zbieżne....................... 15
§ 11. Ciągi, których granice są nieskończone. Nieskończoność potencjalna i aktualna. Nieskończenie małe....................... 16
§ 12. Wnioski z definicji granicy górnej i dolnej ciągu....................... 17
§ 13. Ciągi monotoniczne....................... 22
§ 14. Warunek konieczny i wystarczający na to żeby dana liczba rzeczywista była granicą danego ciągu nieskończonego.
Wnioski....................... 23
§ 15. Liczby rzeczywiste, jako granice ciągów liczb wymiernych. Rozwinięcia liczb rzeczywistych na ułamki
nieskończone przy dowolnej zasadzie....................... 26
§ 16. Nieprzeliczalność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych....................... 26
§ 17. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 35

ROZDZIAŁ III. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych
§ 18. Suma liczb rzeczywistych....................... 37
§ 19. Własności sumy: przemienność; łączność; moduł dodawania....................... 40
§ 20. Dodawanie nierówności....................... 42
§ 21. Odejmowanie; liczby różniące się znakiem....................... 44
§ 22. Sprowadzenie odejmowania do dodawania w myśl wzoru a - b = a + (-b); wnioski....................... 46
§ 23. Liczby dodatnie i ujemne. Wartość bezwzględna i jej własność....................... 49
§ 24. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby dana skończona liczba rzeczywista była granicą danego ciągu
nieskończonego....................... 52
§ 25. Twierdzenia o granicy sumy i różnicy....................... 54
§ 26. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego....................... 55
§ 27. Ciągi ograniczone. Ograniczoność ciągu zbieżnego....................... 57
§ 28. Granica górna i dolna jako granice ciągów wyjętych....................... 58
§ 29. Iloczyn liczb rzeczywistych....................... 61
§ 30. Własności iloczynu; przemienność; łączność; rozdzielność; moduł mnożenia; mnożenie przez 0....................... 64
§ 31. Mnożenie nierówności....................... 67
§ 32. Twierdzenie o granicy iloczynu....................... 71
§ 33. Iloraz liczb rzeczywistych; ułamki i ich własności....................... 72
§ 34. Własności odwrotności....................... 75
§ 35. Twierdzenie o granicy ilorazu ....................... 78

ROZDZIAŁ IV. Potęgowanie liczb rzeczywistych
§ 36. Potęga naturalna....................... 81
§ 37. Ciąg potęgowy....................... 82
§ 38. Pierwiastki arytmetyczne....................... 85
§ 39. Obliczanie pierwiastków arytmetycznych....................... 88
§ 40. Nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej....................... 93
§ 40a. Twierdzenie Hardy-Landau'a....................... 93
§ 41. Pojęcie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; jej ciągłość....................... 101
§ 42. Funkcje ciągłe, spełniające warunek f(1)=a oraz f(x+y)=f(x)f(y)....................... 104
§ 43. Własności potęgi wymiernej....................... 108
§ 44. Potęga o wykładniku rzeczywistym....................... 117
§ 45. Własności potęgi o wykładniku rzeczywistym....................... 120
§ 46. Nierówności dla $(1+d)^x$....................... 125
§ 47. Funkcja $e^x$....................... 133

ROZDZIAŁ V. Logarytmy
§ 48. Dowód istnienia logarytmów liczb dodatnich....................... 140
§ 49. Ogólne własności logarytmów. Zmiana zasady logarytmów....................... 142
§ 50, Logarytmy naturalne; ciągłość funkcji lg x; wnioski....................... 146
§ 51. Wzór asymptotyczny na sumę 1/1 + 1/2 + ... + 1/n; stała Eulera; wzór na lg2....................... 150
§ 52. Interpolacja logarytmów....................... 153

ROZDZIAŁ VI. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej rzeczywistej
§ 53. Kres górny i dolny zbioru i jego własności....................... 156
§ 54. Ciągłość funkcji w danym przedziale; definicje Cauchy'ego i Heine'go; sprawa ich równoważności....................... 158
§ 55. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła przechodzi od jednej wartości do drugiej, przechodząc przez wszystkie wartości pośrednie.
Przykład funkcji wszędzie nieciągłej o powyższej własności....................... 164
§ 56. Kresy funkcji w danym zbiorze. Dowód twierdzenia, że funkcja ciągła w danym przedziale dosięga swych
kresów....................... 168
§ 57. Suma, iloczyn, różnica i iloraz funkcji ciągłych w danym przedziale....................... 172
§ 58. Dowód twierdzenia o istnieniu pierwiastków rzeczywistych równań algebraicznych stopnia
nieparzystego....................... 173

ROZDZIAŁ VII. Teoria liczb zespolonych
§ 59. Liczby zespolone, jako najprostsze rozszerzenie pojęcia liczb rzeczywistych....................... 175
§ 60. Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych....................... 178
§ 61. Moduł liczby zespolonej i jego własności....................... 183
§ 62. Dwumian Newtona....................... 187
§ 63. Pierwiastki drugiego stopnia z liczb zespolonych....................... 189
§ 64. Dowód istnienia pierwiastków stopnia m-go z liczb zespolonych....................... 192
§ 65. Dowód zasadniczego twierdzenia algebry....................... 197
§ 66. Rozkład wielomianu na czynniki linowe. Liczba pierwiastków m-go stopnia z każdej różnej od zera liczby zespolonej....................... 206 ⎧
§ 67. Dowód twierdzenia, że pierwiastki równania algebraicznego są funkcjami ciągłymi
jego współczynników....................... 211
§ 68. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste....................... 218
§ 69. Ciągi nieskończone o wyrazach zespolonych....................... 221

CZĘŚĆ DRUGA: Działania nieskończone

ROZDZIAŁ VIII. Szeregi nieskończone o składnikach stałych
§ 70. Zbieżność szeregu nieskończonego; jego suma....................... 1
§ 71. Szeregi o składnikach zespolonych....................... 4
§ 72. Łączność sumy nieskończonej liczby składników....................... 5
§ 73. Wpływ porządku składników szeregu nieskończonego na wartość sumy. Szeregi zbieżne bezwarunkowo i szeregi zbieżne
bezwzględnie....................... 9
§ 74. Dowód nierównoważności zbieżności bezwarunkowej i zbieżności bezwzględnej szeregu....................... 14
§ 75. Szeregi zbieżne warunkowo; twierdzenie Riemanna....................... 18
§ 76. Cechy zbieżności i rozbieżności szeregów; kryterium d'Alembert'a....................... 26
§ 77. Kryterium Cauchy'ego....................... 31
§ 78. Cecha Kummera. Prawidło Raabe'go; Szeregi ζ(s)....................... 36
§ 79. Twierdzenie Dini'ego; kryteria logarytmiczne....................... 40
§ 80. Twierdzenie Abel'a. Szeregi naprzemienne....................... 43
§ 81. Dodawanie szeregów....................... 46
§ 82. Przekształcanie szeregów wolno zbieżnych: wzór Eulera. Zastosowania....................... 48
§ 82a. Inne metody przekształcania szeregów....................... 56
§ 83. Metoda Kummera. Metoda Markowa....................... 58

ROZDZIAŁ IX. Mnożenie szeregów. Szeregi podwójne
§ 84. Twierdzenie Cesàro. Twierdzenie Abela....................... 63
§ 85. Twierdzenie Cauchy'ego....................... 68
§ 86. Mnożenie szeregów zbieżnych bezwzględnie. Mnożenie Dirichlet'a....................... 73
§ 87. Szeregi iterowane; ich zbieżność i suma. Wpływ porządku sumowania na wartość sumy....................... 76
§ 88. Szeregi iterowane bezwzględnie zbieżne; przekształcanie ich na szeregi zwykłe. Zastosowania....................... 80
§ 88a. Warunek przemienności sumowania........................ 90
§ 89. Ciągi podwójne; ich zbieżność i granice ....................... 91
§ 90. Szeregi podwójne; ich zbieżność i suma. Szeregi podwójne bezwzględnie zbieżne........................ 96

ROZDZIAŁ X. Teoria iloczynów nieskończonych
§ 91. Iloczyny nieskończone; ich zbieżność i wartość. Przykłady....................... 102
§ 92. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności iloczynu nieskończonego....................... 108
§ 93. Iloczyny o czynnikach stale mniejszych lub stale większych od jedności....................... 111
§ 94. Twierdzenie o zbieżności iloczynu ∏ (1+u_n) w razie zbieżności szeregów $∑u_n$ oraz $∑(u_n)^2$....................... 116
§ 95. Sprowadzenie badania iloczynów do badania szeregów za pomocą logarytmowania. Iloczyny warunkowo zbieżne....................... 119
§ 96. Iloczyny zbieżne bezwarunkowo i iloczyny zbieżne bezwzględnie....................... 122
§ 97. Przekształcanie iloczynów nieskończonych na szeregi i na odwrót....................... 126

ROZDZIAŁ XI. Ułamki łańcuchowe
§ 98. Wzór na redukty ułamka łańcuchowego....................... 131
§ 99. Wzór na różnicę kolejnych reduktów. Przekształcanie ułamków łańcuchowych (skończonych) na szeregi i na odwrót....................... 136
§ 100. Ułamki łańcuchowe nieskończone; ich zbieżność i wartość....................... 141
§ 101. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne; rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe....................... 147
§ 102. Rozwinięcia funkcji e^x oraz tg x na ułamki nieskończone....................... 153
§ 103. Niewymierność wymiernych potęg liczby e. Niewymierność liczby π....................... 158
§ 104. Rozwinięcie liczby e na ułamek nieskończony arytmetyczny....................... 164

ROZDZIAŁ XII. Wiadomości podstawowe z teorii funkcji zmiennej zespolonej
§ 105. Punkt skupienia. Zbiory zamknięte....................... 167
§ 106. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Dowód pewnika Zermelo dla zbiorów zamkniętych....................... 171
§ 107. Ciągłość funkcji w pewnym zbiorze, zwyczajna i jednostajna. Twierdzenie o ciągłości jednostajnej funkcji ciągłej w zbiorze zamkniętym i ograniczonym....................... 174
§ 108. Ograniczoność i zamkniętość zbioru wartości funkcji ciągłej w zbiorze ograniczonym i zamkniętym....................... 181
§ 109. Funkcja funkcji....................... 183
§ 110. Funkcje odwrotne ....................... 186

ROZDZIAŁ XIII. Ciągi i szeregi funkcyj
§ 111. Ciągi nieskończone funkcyj; zbieżność jednostajna ciągu funkcyj....................... 190
§ 112. Ciągłość granicy ciągu jednostajnie zbieżnego funkcyj zbieżnych. Granica ciągu niejednostajnie zbieżnego funkcyj
ciągłych....................... 193
§ 113. Warunek konieczny i wystarczający na to, żeby granica ciągu funkcyj ciągłych dla danego punktu była dla tego punktu
ciągłą ....................... 197
§ 114. Ciągi zbieżne quasi-jednostajnie. Twierdzenie Arzelà....................... 198
§ 115. Szeregi nieskończone funkcyj; ich zbieżność jednostajna i quasijednostajna. Twierdzenia o szeregach funkcyj ciągłych jednego
znaku....................... 202
§ 116. Stosunek zbieżności jednostajnej do zbieżności bezwzględnej szeregu. Wpływ porządku składników na jednostajność zbieżności szeregu
zbieżnego bezwzględnie....................... 203
§ 117. Granica sumy szeregu jednostajnie zbieżnego....................... 297

ROZDZIAŁ XIV. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi wielomianów
§ 118. Rozwijanie funkcyj wymiernych na szereg wielomianów....................... 210
§ 119. Twierdzenie Weierstrassa o rozwijalności funkcyj ciągłej na szereg wielomianów. Ogólny wzór interpolacyjny
Borela....................... 215
§ 120. Wzór interpolacyjny S. Bernsteina....................... 221
§ 121. Rozwijanie funkcyj ciągłych na szeregi normalne....................... 225
§ 122. Wnioski z twierdzenia Weierstrassa....................... 228
§ 123. Wielomiany dające najlepsze przybliżenie funkcji ciągłej w danym przedziale....................... 232

ROZDZIAŁ XV. Szeregi potęgowe
§ 124. Promień i koło zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamard'a....................... 244
§ 125. Ciągłość sumy szeregu potęgowego wewnątrz jego koła zbieżności....................... 249
§ 126. Zachowanie się szeregu potęgowego na obwodzie koła zbieżności....................... 250
§ 126a. Szereg potęgowy, zbieżny na swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie....................... 256
§ 127. Twierdzenie Abela....................... 259
§ 128. Skończoność liczby pierwiastków szeregu potęgowego w otoczeniu punktu z=0. Wnioski....................... 262
§ 129. Pochodna szeregu potęgowego. Zbieżność szeregu potęgowego. Wzór Maclaurina....................... 263
§ 130. Szeregi według potęg z—a. Pojęcie o przedłużeniu analitycznym oraz o funkcji analitycznej....................... 268
§ 131. Nierówność dla współczynników szeregu potęgowego, którego suma jest ograniczona na danym kole. Wnioski...... 270
§ 132. Twierdzenie Weierstrassa o szeregu szeregów potęgowych.. 275