Książka - szczegóły

SPIS RZECZY

PRZEDMOWA............. III
ERRATA.................... VI

ROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE
§ 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1
§ 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2
§ 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2
§ 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3
§ 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4
§ 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4
§ 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5
§ 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8
§ 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14

ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA
§ 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27
§ 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29
§ 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29
§ 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33
§ 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35
§ 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37
§ 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39

ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM
§ 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41
§ 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46
§ 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49
§ 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50
§ 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51

ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW
§ 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre'a.............. 53
§ 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre'a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby $D^{(p-1)/2}$ według modułu p........63
§ 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68
§ 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71
§ 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76
§ 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79
§ 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80
§ 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83
§ 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90
§ 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange'a..............93
§ 11. Twierdzenie Waringa............................... 102

ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE
§ 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112
§ 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113
§ 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116
§ 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123
§ 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125
§ 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126
§ 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132
§ 8. Tożsamość Hermite'a dla funkcji E(x)....................... 134

ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$ I JEJ ODWRÓCENIE
§ 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136
§ 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych $p_1,p_2,...,p_m$............. 138
§ 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140
§ 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143
§ 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148
§ 6. Odwrócenie wzoru $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$............................... 150
§ 7. Funkcja Liouville'a.................................. 154

OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH
§ 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156
§ 2. Dowód wzoru $lim_{x=∞} π(x)/x=0$.............................. 160
§ 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161

ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE'A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI
§ 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168
§ 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172
§ 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175
§ 4. Twierdzenie Lagrange'a i wnioski z niego.............................. 177
§ 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183
§ 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów $p^α$ i $2p^α$........................ 187
§ 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191
§ 8. Moduł $2^α$ dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193
§ 9. Własności wskaźników................................. 196
§ 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre'a.............. 198
§ 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201

ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI
§ 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205
§ 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210
§ 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213
§ 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214
§ 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216
§ 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217
§ 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219
§ 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224
§ 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226

ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA
§ 1. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ w liczbach całkowitych.............229
§ 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233
§ 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237
§ 4. Równanie Fermata............. 242

ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA
§ 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251
§ 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254
§ 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259

ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE
§ 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262
§ 2. Liczby Δk. Wzór $Δk = (-1)^k$................... 266
§ 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267
§ 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269
§ 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270
§ 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272
§ 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274
§ 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278
§ 9. Twierdzenie Lagrange'a o ułamkach łańcuchowych........................... 290
§ 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297
§ 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298

ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA
§ 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305
§ 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308
§ 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310
§ 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312
§ 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314

ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE'A I SYMBOLU JACOBIEGO
§ 1. Lemat Gaussa...............323
§ 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325
§ 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326
§ 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre'a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331
§ 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335
§ 6. Prawidło Eisensteina................................ 341
§ 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346

ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH
§ 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351
§ 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353
§ 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357
§ 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359
§ 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363
§ 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367
§ 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370
§ 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372

ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH
§ 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379
§ 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383
§ 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388
§ 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389
§ 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394
§ 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396
§ 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401

ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH
§ 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416
§ 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417
§ 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419
§ 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421
§ 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430
§ 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431
§ 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431
§ 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435
§ 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438

ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW
§ 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443
§ 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446
§ 3. Iloczyn ideałów..................................... 449
§ 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450
§ 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454
§ 6. Ideały pierwsze.................................... 458
§ 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459
§ 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461

ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7
§ 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463
§ 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464
§ 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478

ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489
PRZYPISY............................... 525
SKOROWIDZ NAZW.................. 532
SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535
SKOROWIDZ NAZWISK................ 536