Książka - szczegóły

SPIS RZECZY
PRZEDMOWA........................................ V

ROZDZIAŁ I. PERMUTACJE
§ 1. Permutacje elementów......................... 1
§ 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy......... 2
§ 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji. Liczba permutacyj każdej klasy...... 3
§ 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycyj..... 5

ROZDZIAŁ II. WYZNACZNIKI
§ 1. Wstęp historyczny............................. 7
§ 2. Definicja wyznacznika...................... 8
§ 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni........... 9
§ 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny............................. 11
§ 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika...................... 13
§ 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny..... 14
§ 7. Wnioski........................ 16
§ 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania..... 19
§ 9. Wyznacznik Vandermonde'a........................... 20
§ 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia.............. 25
§ 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni.............. 29
§ 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika............. 30
§ 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników........... 35

ROZDZIAŁ III. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH
§ 1. Przekształcenia liniowe...................... 37
§ 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych...................... 39
§ 3. Przykłady................. 40
§ 4. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań........ 45
§ 5. Rozwiązywanie układu m równań liniowych o n niewiadomych, gdy stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań...... 47
§ 6. Sposób rozwiązywania układu m równań liniowych o n niewiadomych w przypadku ogólnym............. 49
§ 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych........... 50
§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników.................. 51
§ 9. Przykłady........................... 53

ROZDZIAŁ IV. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
§ 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie............... 62
§ 2. Przekształcenia ortogonalne............................ 64

ROZDZIAŁ V. MACIERZE
§ 1. Mnożenie macierzy. Przykłady.................. 66
§ 2. Własności iloczynu macierzy............... 69
§ 3. Macierz zerowa i jednostkowa................ 69
§ 4. Macierz odwrotna...................... 70
§ 5. Dzielenie macierzy..................... 74
§ 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne............. 75
§ 7. Krakowiany............. 76
§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych za pomocą krakowianów............. 78

ROZDZIAŁ VI. LICZBY ZESPOLONE
§ 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn............... 81
§ 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych................... 82
§ 3. Liczba i............... 84
§ 4. Liczby zespolone sprzężone............. 86
§ 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł.............. 89
§ 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych............. 91
§ 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych........ 93
§ 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności.............. 94

ROZDZIAŁ VII. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY
§ 1. Lemat Gaussa........... 98
§ 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry............. 100

ROZDZIAŁ VIII. WIELOMIANY
§ 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta............... 102
§ 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu..... 105
§ 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny dzielnik............. 107
§ 4. Algorytm kolejnych dzieleń................... 109
§ 5. Wielomiany względnie pierwsze.................. 112
§ 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów.............. 115
§ 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów............... 117
§ 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej............. 118
§ 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu...................... 120
§ 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych wielomianu......... 122
§ 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski............... 123
§ 12. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona................ 130
§ 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych................. 132
§ 14. Wielomiany nieprzywiedlne............................ 133
§ 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych....... 136
§ 16. Wielomiany n zmiennych......................... 137
§ 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych.................... 141
§ 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóchi zmiennych............... 144
§ 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych...................... 146
§ 20. Przykłady........................... 147
§ 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów wielomianów liniowych.............. 149
§ 22. Funkcje wymierne i niewymierne....................... 151
§ 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste........................ 152

ROZDZIAŁ IX. WIELOMIANY SYMETRYCZNE
§ 1. Funkcje symetryczne podstawowe....................... 157
§ 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych................ 157
§ 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Dowód Caychy'ego...... 159
§ 4. Dowód Waringa............................. 161
§ 5. Wzory Newtona............................. 163
§ 6. Wyróżnik równania......................... 167

ROZDZIAŁ X. RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA
§ 1. Równania 2-go stopnia....................... 169
§ 2. Równania dwukwadratowe...................... 174
§ 3. Równania 3-go stopnia....................... 175
§ 4. Przykłady równań 3-go stopnia............... 180
§ 5. Równania 3-go stopnia....................... 184
§ 6. Równania 4-go stopnia....................... 187
§ 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych............... 193
§ 8. Sposób Ferrari'ego rozwiązywania równań 4-go stopnia......................... 194
§ 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań............................ 196

ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIA PODZIAŁU KOŁA
§ 1. Równania $z^n-1 = 0$ dla n ≤ 6................... 199
§ 2. Równanie $z^7-1 = 0$............................. 201
§ 3. Równania $z^8-1 = 0, z^9-1 = 0$ oraz $z^10-1 = 0$....... 203
§ 4. Równanie $z^17-1 = 0$........................ 204
§ 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału.................... 208

ROZDZIAŁ XII. LICZBY ALGEBRAICZNE
§ 1. Liczby algebraiczne n-go stopnia......................... 210
§ 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia........... 213
§ 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych.............. 214
§ 4. Wielomiany, których współczynniki są liczbami algebraicznymi......... 217
§ 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia.............. 217
§ 6. Dowód Liouville'a istnienia liczb przestępnych.................. 221

ROZDZIAŁ XIII. CIAŁA LICZBOWE
§ 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady................................. 224
§ 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb............... 226
§ 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym......................... 227
§ 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych.............. 233
§ 5. Przedstawianie pierwiastków równania z^n-1=0 za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n........ 235
§ 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych.......................... 239

ROZDZIAŁ XIV. DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI
§ 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego 3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych............ 241
§ 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta............ 243
§ 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych i trzech pierwiastkach rzeczywistych
niewymiernych............ 249
§ 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika przy i liczby ∛1+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych.......... 251
§ 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności.............. 252

ROZDZIAŁ XV. UKŁADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
§ 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej................... 254
§ 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.................... 256
§ 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera...... 257
§ 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem........ 259
§ 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem............ 261
§ 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru............. 262
§ 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych........ 263

ROZDZIAŁ XVI. OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
§ 1. Twierdzenie Sturma..................... 265
§ 2. Wnioski z twierdzenia Sturma........... 270
§ 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków............. 273
§ 4. Reguła falsi i metoda Newtona.................. 276
§ 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych........... 278

ROZDZIAŁ XVII. OGÓLNA TEORIA DZIAŁAŃ
§ 1. Ogólna definicja działania. Przykłady................. 280
§ 2. Tabliczka działania................. 281
§ 3. Działania przemienne i działania łączne................ 282
§ 4. Działania na zbiorach skończonych.................. 285
§ 5. Rozdzielność działania względem innego działania.............. 286
§ 6. Działania odwrotne. Przykłady................. 288
§ 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady............ 290
§ 8. Izomorfizm działań. Przykłady............... 295

ROZDZIAŁ XVIII. PODSTAWIENIA
§ 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne.................. 299
§ 2. Iloczyn podstawień....................................... 300
§ 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień.......... 302
§ 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych..................... 304

ROZDZIAŁ XIX. GRUPY
§ 1. Definicja grupy. Przykłady.......................... 306
§ 2. Jedność grupy i jej własności...................... 310
§ 3. Elementy odwrotne i ich własności.................. 311
§ 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych.......... 312
§ 5. Produkt grup......................................... 314
§ 6. Podgrupy; Przykłady................................. 315
§ 7. Podgrupy grup cyklicznych.......................... 319
§ 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady.... 322
§ 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne.... 325
§ 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej............... 326
§ 11. Kompleksy i ich iloczyny........................ 328
§ 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady................. 330
§ 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia.................. 334
§ 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy............ 336
§ 15. Grupy o 4 elementach........................... 337
§ 16. Grupy o 6 i więcej elementach.................. 338
§ 17. Homomorfizm. Endomorfizm.......................... 340
§ 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych..................... 342
§ 19. Grupa Galois równania................................ 346

ROZDZIAŁ XX. UOGÓLNIENIE CIAŁ LICZBOWYCH
§ 1. Definicja ciała..................... 348
§ 2. Przykłady ciał...................... 349
§ 3. Dołączanie elementu do ciała........ 359
§ 4. Podciała. Ciała proste.............. 360
§ 5. Ciała skończone...................... 363
§ 6. Ciała złożone z 4 elementów.......... 365

ZARYS TEORII GALOIS - A. MOSTOWSKI

CZĘŚĆ I. GRUPA GALOIS
§ 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii....... 371
§ 2. Grupa Galois........................... 374
§ 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania................. 376
§ 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii........................ 380
§ 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych................ 384
§ 6. Wyznaczanie grupy Galois............................ 385
§ 7. Własności liczb ciała Σ......................... 389
§ 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu.......... 391
§ 9. Równania o grupie symetrycznej.................. 393
§ 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i Σ........ 395

CZĘŚĆ II. ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
§ 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K...... 398
§ 12. Grupa równania, któremu czyni zadość Θ........... 400
§ 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych.. 403
§ 14. Przykłady........................................ 405
§ 15. Prostota grupy naprzemiennej..................... 409
§ 16. Niewymierności naturalne i uboczne............... 411
§ 17. Równania czyste.................................. 413
§ 18. Równania cykliczne............................... 416
§ 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki......... 420
§ 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału......... 423
§ 21. Pierwiastniki rzeczywiste......................... 427

SKOROWIDZ NAZW......................... 429
SKOROWIDZ NAZWISK...................... 433
SKOROWIDZ ZNAKÓW........................ 434
ERRATA..................... 435