Remarques sur la structure interne des composantes connexes semi-Fredholm

Soit C(X,Y) l'ensemble des opérateurs fermés à domaines denses dans l'espace de Banach X à valeurs dans l'espace de Banach Y, muni de la métrique du gap. Soit ${\displaystyle F_n=\{T\in C(X,Y):Tsemi-Fredholma\overrightarrow{\in }d\left(T\right)=n\}}$ et ${\displaystyle C_{n,m}=\{T\in F_n:\alpha \left(T\right)=n+m\}}$, où α (T) est la dimension du noyau de T. Nous montrons que ${\displaystyle {\bigcup }_{m=0}^j{C}_{n,m}}$ est un ouvert de ${\displaystyle F_n}$ (et donc ouvert dans C(X,Y)) et que ${\displaystyle C_{n,m}}$ est dense dans ${\displaystyle {\bigcup }_{j\ge m}{C}_{n,j}}$. Nous déduisons quelques résultats de densités. A la fin de se travail nous donnons un exemple d'espace de Banach X tel que, d'une part, ${\displaystyle F_n}$ n'est pas connexe dans B(X) et d'autre part, l'ensemble des opérateurs semi-Fredholm n'est pas dense dans B(X), contrairement au cas Hilbertien.