Sur le principe de la condensation de singularités

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Soit ${\displaystyle \left\{u_{pq}\left(x\right)\right\}}$ une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un x_p tel que l'on ait ${\displaystyle \underset{q\to \infty }{lim}\text{sup}\left|\left|u_{pq}\left(x_p\right)\right|\right|=\infty }$, alors il existe un x (independant de p) remplissant toutes les relations ${\displaystyle \underset{q\to \infty }{lim}\text{sup}\left|\left|u_{pq}\left(x\right)\right|\right|=\infty }$. Théorème: Soit ${\displaystyle \left\{u_{pq}\left(x\right)\right\}}$ une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un ${\displaystyle x_p}$ rendant divergente la suite simple ${\displaystyle {\left\{u_{pq}\left(x_p\right)\right\}}_{q\to \infty }}$, alors il existe un x (indépendant de p) qui rend divergentes toutes les suites simples ${\displaystyle {\left\{u_{pq}\left(x\right)\right\}}_{q\to \infty }}$.