Sur les séries de fonctions orthogonales. Deuxième partie

Cet article est un suite d'une étude "Sur les séries de fonctions orthogonales" parus au tome VII des cet journal. Soit ${\displaystyle {\varphi }_1\left(x\right),{\varphi }_2\left(x\right),{\varphi }_3\left(x\right),...,{\varphi }_n\left(x\right),...}$ (1) un système norme de fonctions orthogonales, et soient ${\displaystyle a_1,a_2,a_3,...,a_n,...}$ (2) des constantes réelles quelconques. L'auteur a démontrée dans la première parties de son ouvrage qu'il existe une série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n·{\varphi }_n\left(x\right)}$ (3) divergente partout, tandis que la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2}$ (4) converge. Le but principal de cette étude est de démontrer Théorème: Un procédé de sommation linéaire étant donne, on peut définir un système norme de fonctions orthogonales ${\displaystyle {\varphi }_n\left(x\right)}$ et une suite de constantes ${\displaystyle a_n}$, donnant lieu à la série (3) convergente, tels que la série (4) n'est sommable en aucun point par ce procédé. Théorème: La fonction limitrophe pour le procédé de Poisson et pour celui de Cesàro d'ordre positif quelconque λ est égale à ${\displaystyle {(lg lgn)}^2}$.