Notes supplémentaires au "Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes", rédigées d'après les papiers posthumes de Paul Urysohn

La présente note est consacre à la résolution du problèmes suivantes: Problème: Soit (dans un espace métrique compact) ${\displaystyle F_1\supset F_2\supset ...\supset F_m\supset ...}$ une suite décroissante d'ensemble fermes possédant tous la même dimension n. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la produit ${\displaystyle F_{\omega }}$ de tous les ensembles ${\displaystyle F_m}$ soit encore de dimension n? Problème: Soit M un ensemble ${\displaystyle G_{\delta }}$ situe dans l'espace n - dimensionnel ${\displaystyle E_m}$, supposons que l'ensemble complémentaire ${\displaystyle E_n-M}$ soit d'une dimension inférieure à n-1. Si G est un domaine connexe arbitraire de l'espace ${\displaystyle E_n}$ et x+y deux points quelconques de GM, il existe un continu ${\displaystyle C_{xy}}$ tel que ${\displaystyle x+y\subset C_{xy}\subset GM}$.