Remarque a, la Note de M. Banach "Sur une classe de fonctions continues"

Cette note concerne une question traitée par monsieur Banach dans sa note "Sur une classe de fonctions continues" (Fundamenta Mathematcae, volume VIII, page 166). Dans cette note monsieur Banach démontre qu'un fonction continue satisfaisant aux conditions qu'il appelle ${\displaystyle \left(N\right)}$ et ${\displaystyle \left(T_1\right)}$, ou, ce qui revient au même, à la condition ${\displaystyle \left(S\right)}$, a une dérivée dans un ensemble de mesure positive. L'auteur donne ici un exemple d'une fonction continue satisfaisant aux conditions ${\displaystyle \left(N\right)}$ et ${\displaystyle \left(T_1\right)}$ qui ne possède pas de dérivée dans un ensemble de mesure positive. Cet exemple prouve que le théorème de monsieur Banach n'est pas susceptible d'une extension dans un certain sens (puisque d'une considération très facile il résulte, que la dérivée n'existe pas nécessairement dans une épaisseur plaine).