Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier

Théorème: Si f(θ) est une fonction sommable, si de plus ${\displaystyle f(\rho ,\theta )=1/(2\pi ){\int }_{-\pi }^{+\pi }f(\alpha )(1-{\rho }^2)/(1+{\rho }^2-2\rho \cos (\alpha -\theta ))d\alpha }$, alors, z tendant vers ${\displaystyle e^{i\theta }}$ le long d'un chemin quelconque non tangent à la circonférence, la fonction harmonique g(z) conjuguée à f(z) tend pour presque toutes les valeurs de θ vers une limite déterminée ${\displaystyle g(\theta )=-\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }\frac{f(\theta +\alpha )}{t}g\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha }$, l'integrale etant comprise comme ${\displaystyle \underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\pi }^{+ϵ}{\int }_{-ϵ}^{+\pi }}$. Le but de cette note est de démontrer que la fonction ${\displaystyle {\left|g(\theta )\right|}^{1-ϵ}}$ est sommable pour ϵ > 0. Comme une conséquence immédiate, l'auteur démontre un théorème sur la convergence en moyenne de la série de Fourier (on peut déduire de ce théorème que toutes les séries de Fourier-Lebesgue convergent en mesure).