Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l'aire est finie

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si C est un arc simple dans le plan, la condition nécessaire et suffisante pour que C soit rectifiable est que les fonctions ${\displaystyle N_x(s,C)}$ et ${\displaystyle N_y(s,C)}$ soient intégrale, ou ${\displaystyle N_x(s,C)}$ désigne le nombre de points en lesquels la droite x=s coupe l'arc C. Théorème: La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction continue y=f(x) à variation bornée soit absolument continue est que tout ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'abscisses soit transformé par cette fonction en un ensemble de mesure nulle situe sur l'axe d'ordonnées.