Sur une définition topologique des ensembles ${\displaystyle F_{\sigma \delta }}$

Le but de cette note est de démontrer le suivant: Théorème: Pour qu'un ensemble E (situe dans un espace à m dimensions) soit un ${\displaystyle F_{\sigma \delta }}$, il faut et il suffit qu'on puisse faire correspondre à tout système fini de nombres naturels ${\displaystyle (n_1,n_2,\dots ,n_k)}$ un sous-ensemble ${\displaystyle E_{n_1,n_2,\dots ,n_k}}$ de E fermé dans E, de sorte que les quatre conditions suivantes soient vérifiées: 1. ${\displaystyle E=E_1+E_2+E_3+\dots }$ 2. ${\displaystyle E_{n_1,n_2,\dots ,n_k}-E_{n_1,n_2,\dots ,n_{k-1},n_k-1}={\sum }_{n=1}^{\infty }{E}_{n_1,n_2,\dots ,n_k,n}}$ 3. ${\displaystyle E_{n_1,n_2,\dots ,n_k}\subset E_{n_1,n_2,\dots ,n_{k-1},n_k+1}}$ 4. si ${\displaystyle n_1,n_2,n_3,\dots }$ est une suite infinie de nombres naturels et ${\displaystyle p_k,(k=1,2,\dots )}$ une suite infinie de points de E tels que ${\displaystyle p_k\in E_{n_1,n_2,\dots ,n_k}}$ pour k=1,2,…, les points ${\displaystyle p_k,(k=1,2,\dots )}$ convergent vers un point de E.