Sur l'équation fonctionnelle d'Abel

Le but de cette note est de démontrer le suivant Théorème: Pour que l'équation d'Abel φ(f(x)) = φ(x) + c, où f(x) est une fonction donnée d'une variable réelle, définie dans un ensemble E, et c une constante non nulle, admette au moins une solution φ(x) dans l'ensemble E, il faut et il suffit que l'égalité ${\displaystyle f_k\left(x\right)=x}$ où ${\displaystyle f_k\left(x\right)}$ désigne la k-ième itérée de f(x), ne subsiste pour aucun point x de E et aucun indice k.