Sur les voisinages de deux figures homéomorphes

Cet article complète un mémoire paru dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (1921) sous le titre: Sur l'homéomorphie de figures et de leurs voisinages. L'auteur a cru intéressant de s'occuper du problème suivant: Problème: étant données 2 figures homéomorphes F et f, situées dans le même espace ou dans des espaces E et e ayant le même nombre n de dimensions. Peut-on déterminer 2 nouvelles figures homéomorphes ${\displaystyle F_1}$ et ${\displaystyle f_1}$, telles que tout point de F (ou de f) soit centre d'une sphère de rayon non nul dont tout l'intérieur appartienne à ${\displaystyle F_1}$ (ou ${\displaystyle f_1}$), et telles que la correspondance donnée entre F et f résulte (comme cas particulier) de la correspondance entre ${\displaystyle F_1}$ et ${\displaystyle f_1}$. A priori, trois cas sont possibles: 1. On peut prendre pour ${\displaystyle F_1}$ la totalité de E et pour ${\displaystyle f_1}$ la totalité de e. Dans ce cas ont dit que la correspondance entre F et f peut s'étendre à tout l'espace. 2. On peut déterminer ${\displaystyle F_1}$ et ${\displaystyle f_1}$ sans qu'il soit possible de prendre pour ces figures tout E et tout e. On dit alors que la correspondance entre F et f ne s'étend qu'à leurs voisinages. 3. Il est impossible de déterminer ${\displaystyle F_1}$ et ${\displaystyle f_1}$. Dans ce cas on dit que F et f ne s'étend à aucun voisinage. L'auteur a étudié, pour n=2 et pour n=3, les cas où F et f sont soit des courbes de Jordan sans point multiple, soit des ensembles parfait partout discontinus bornés.