Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier

Posons: ${\displaystyle S_n=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx),{\sigma }_n=\frac{S_0+S_1+...+S_{n-1}}{n}}$. Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si la suite d'entiers ${\displaystyle n_m(m=1,2,...)}$ remplit la condition suivante: ${\displaystyle \frac{n_{m+1}}{n_m}>\lambda >1}$, alors, pour la série de Fourier de toute fonction à carré intégrale ${\displaystyle S_{n_m}}$ converge presque partout vers la fonction donnée. Théorème: Si dans une série de Fourier-Lebesgue tous les termes sont nuls sauf ceux d'indice ${\displaystyle n_m}$ (les ${\displaystyle n_m}$ remplissant l'inégalité - hypothèse du théorème précèdent) la série converge presque partout.