Sur les séries de fonctions orthogonales. Première partie

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions ${\displaystyle {\phi }_n\left(x\right),(n=1,2,3,...)}$ forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si ${\displaystyle {\int }_a^b{\left[{\phi }_n\left(x\right)\right]}^{2}dx=1,{\int }_a^b{\phi }_m\left(x\right)·{\phi }_n\left(x\right)dx=0,n\ne m}$, si, de plus, les constantes réelles ${\displaystyle a_n}$ sont telles que ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^2{\left(lgn\right)}^2}$ converge, la série ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n·{\phi }_n\left(x\right)}$ converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition ${\displaystyle W\left(n\right)=o\left[{\left(lgn\right)}^2\right]}$, il existe toujours un système normé de fonctions ${\displaystyle {\phi }_n\left(x\right),n=1,2,3,...}$, orthogonales dans (0,1), et une suite de constantes réelles ${\displaystyle a_n}$ telles que la série ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n·{\phi }_n\left(x\right)}$ diverge partout dans (0,1), quoique la série ${\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^{2}W\left(n\right)}$ converge.