Sur un problème de la théorie de la mesure. I

Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient ${\displaystyle E_x}$ un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, ${\displaystyle E_y}$ un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de ${\displaystyle E_x}$ des parallèles à Oy et par les points de ${\displaystyle E_y}$ des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par ${\displaystyle E_{\lambda }}$ la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de ${\displaystyle E_{\lambda }}$ est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles ${\displaystyle E_x,E_y}$ est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de ${\displaystyle E_{\lambda }}$ est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles ${\displaystyle E_x,E_y}$ n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles ${\displaystyle E_x,E_y}$ est un ensemble parfait de Cantor.