Sur les suites de fonctions analytiques bornées dans leur ensemble

Monsieur Montel a démontré que, pour une suite ${\displaystyle f_1\left(z\right),f_2\left(z\right),...,f_n\left(z\right),...}$ (1) de fonctions holomorphes bornées dans leur ensemble à l'intérieur d'un contour simple et sur le contour lui - même, la convergence en tout point d'un arc quelconque de contour entraîne la convergence uniforme dans tout domaine complèment intérieur au contour. Le but de cette note est de généraliser cette proposition, en démontrant que, pour un contour rectifiable, la condition indiquée peut être remplacée par une moins restrictive, à savoir celle de la convergence de la suite (1) en tout point d'un ensemble de mesure non nulle situé sur le contour.